리만 곡면 위의 계량 텐서

개요

• 리만 곡면에 주어진 메트릭의 국소적 표현

\[ds^2=\lambda^2(z,\overline{z})\, dz\,d\overline{z}\] 여기서 λ는 양의 값을 갖는 \(z\)와 \(\overline{z}\)의 함수.

• 메트릭의 포텐셜 \(\Phi(z,\overline{z})\)

\[4\frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial}{\partial \overline{z}} \Phi(z,\overline{z})=\lambda^2(z,\overline{z})\]

• 라플라시안(Laplacian) 연산자

$$ \Delta=4\frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial}{\partial \overline{z}}=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2} $$

푸앵카레 상반평면 모델

• 푸앵카레 상반평면 모델
• 리만 메트릭\[ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}=\frac{dzd\overline{z}}{y^2}\]
• 포텐셜 \(\Phi(z,\overline{z})=-\log y=-\log \frac{z-\overline{z}}{2i}\)

Fubini-Study metric

• \(\Omega\) : curvature form
• Chern class\[\det \left(\frac {it\Omega}{2\pi} +I\right) = \sum_k c_k(V) t^k\]
  
• \(c_k(V)=P^{i}\left(\frac{\sqrt{-1}}{2\pi}\Omega\right)\in H^{2i}(M,\mathbb{Z})\)
• Chern class of line bundles on the complex projective line
• V = \(T\mathbb{C}P^1\) : the complex tangent bundle of the complex projective line
• Kahler metric\[g=\frac{dz\otimes d\bar{z}}{(1+|z|^2)^2}\]
  
• 포텐셜 \(\log (1+|z|^2)=\log (1+z\bar{z})\)\[\partial \bar\partial \log (1+|z|^2)=\frac{dz\wedge d\bar{z}}{(1+|z|^2)^2}\]
• Curvature form\[\Omega=\frac{2dz\wedge d\bar{z}}{(1+|z|^2)^2}\]
  
• \(c_1=\frac{\sqrt{-1}}{2\pi}\Omega\)
• \(c_1(V) \not= 0\) 의 증명 (V 가 trivial vector bundle이 아님을 알 수 있다)\[\int c_1=\frac{\sqrt{-1}}{2\pi}\int \frac{2 dz\wedge d\bar{z}}{(1+|z|^2)^2}=\frac{\sqrt{-1}}{2\pi}\left(\int_{0}^{2\pi}\int_0^{\infty} \frac{-4\sqrt{-1}r}{\left(1+r^2\right)^2} \, dr d\theta \right)=4\left(\int_0^{\infty } \frac{r}{\left(1+r^2\right)^2} \, dr\right)=2\]
  
• 입체사영 (stereographic projection)

line bundle 에 정의된 에르미트 metric

• X : 리만 곡면
• holomorphic line bundle \(H\to X\) 에 대한 에르미트 metric \(e^{-\phi}\)

메모

• Kähler 다양체

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Poincaré_metric
• http://en.wikipedia.org/wiki/Kähler_manifold
• http://en.wikipedia.org/wiki/Chern_class