하이젠베르크 스핀 1/2 XXX 모형의 베테 안싸쯔 방정식

개요

• 하이젠베르크 스핀 1/2 XXX 모형(Heisenberg model)의 해밀토니안을 베테 가설을 이용하여 대각화할 때 등장하는 방정식

베테 안싸쯔 방정식

해밀토니안

• 하이젠베르크 스핀 1/2 XXX 모형(Heisenberg model)의 해밀토니안 $$H = \sum_{n=1}^{N-1}H_{n,n+1}+H_{N,1}\label{ham}$$ 여기서 $H_{i,j}$ 는 two-site 해밀토니안으로 다음과 같이 정의됨

$$H_{i,j}=\frac{J}{4}(\sigma_i^x \sigma_{j}^x +\sigma_i^y \sigma_{j}^y + \sigma_i^z \sigma_{j}^z-I^{\otimes N})=\frac{J}{2}(P_{ij}-I^{\otimes N})$$ $P_{ij}$는 치환연산자

베테 안싸쯔 방정식

• 다음의 방정식을 하이젠베르크 스핀 1/2 XXX 모형의 베테 안싸쯔 방정식이라 한다

$$\begin{eqnarray}\label{bae} \left( {\lambda_{\alpha} + {i\over 2} \over \lambda_{\alpha} - {i\over 2}} \right)^{N} = \prod_{\scriptstyle{\beta=1}\atop \scriptstyle{\beta \ne \alpha}}^M {\lambda_{\alpha} - \lambda_{\beta} + i \over \lambda_{\alpha} - \lambda_{\beta} - i } \,, \qquad \alpha = 1 \,, \cdots \,, M \,. \end{eqnarray}$$

• 베테안싸쯔 방정식은 다음과 같이 표현되기도 한다

$$ \exp(ik_jN)\prod_{i \neq j}^{M}S(\lambda_j,\lambda_i)=1 \,, \qquad j = 1 \,, \cdots \,, M \,. $$ 여기서 $e^{i k_j}=\frac{\lambda_j+i/2}{\lambda_j-i/2}$ 또는 $\lambda_j=\frac{1}{2}\cot \frac{k_j}{2}$ 그리고 $$ S(v,u)=\frac{u-v-i}{u-v+i}. $$

• 베테안싸쯔 방정식 \ref{bae}의 해를 베테 해(Bethe roots)라 부르며, 각각의 베테 해로부터 해밀토니안 \ref{ham}의 고유벡터를 얻게 된다

관련된 항목들

• 베테 가설 풀이(Bethe ansatz)

계산 리소스 및 매스매티카 파일

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxUzItUUthelhVakE/edit
• Day 2 - Coordinate Bethe Ansatz
  • Day 2 - Exercise- Numerical solution of Bethe equations.pdf
  • Day 2 - Solution - Numerical Solution of Bethe Ansatz .nb

관련논문

• Nepomechie, Rafael I., and Chunguang Wang. “Twisting Singular Solutions of Bethe’s Equations.” arXiv:1409.7382 [math-Ph], September 25, 2014. http://arxiv.org/abs/1409.7382.
• Kirillov, Anatol N., and Reiho Sakamoto. 2014. “Singular Solutions to the Bethe Ansatz Equations and Rigged Configurations.” arXiv:1402.0651 [math-Ph], February. http://arxiv.org/abs/1402.0651.