루트 시스템 (root system)과 딘킨 다이어그램 (Dynkin diagram)

개요

• 루트 시스템은 유한차원 유클리드 벡터공간에서 여러가지 조건들을 만족시키는 벡터들의 모임이다
  • non-zero eigenvalues of Cartan subalgebra
• 리군과 리대수의 분류, 격자의 분류, 유한반사군과 콕세터군(finite reflection groups and Coxeter groups) 등에서 중요하게 활용
• 딘킨 다이어그램은 루트 시스템을 표현하는 그래프이다

정의

• E를 내적이 주어진 유클리드 벡터공간이라 하자.
• 다음 조건을 만족시키는 E의 유한인 부분집합 \(\Phi\)를 루트 시스템이라 한다.
  • \(\Phi\)는 E를 스팬(span)하며 \(0 \not \in \Phi\)
  • (reduced) \(\alpha \in \Phi\), \(\lambda \alpha \in \Phi \iff \lambda=\pm 1\)
  • \(\alpha,\beta \in \Phi\)이면 \(\sigma_\alpha(\beta) =\beta-2\frac{(\beta,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}\alpha \in \Phi\)
  • \(\langle \beta, \alpha \rangle = 2 \frac{(\beta,\alpha)}{(\alpha,\alpha)} \in \mathbb{Z}\)
• 마지막 조건을 crystallographic 또는 integrality 조건이라 한다
• a subgroup of \(GL(V)\) is crystallographic if it stabilizes a lattice L in V
• e.g. the Weyl group of a Lie algebra stabilizes the root lattice or the weight lattice

딘킨 다이어그램 (Dynkin diagram)

• first draw the simple roots as nodes
• draw \(4(e_i, e_j)^2\)lines for two roots \(e_i, e_j\)
• \(\frac{\pi}{2}\) , \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{\pi}{6}\) 0,1,2,3 lines

2차원 루트 시스템의 분류

• \(A_1\times A_1\), \(A_2\), \(B_2\), \(G_2\)

A1 x A1

http://www.wolframalpha.com/input/?i=r%3D1%2Bcos+(4theta)

A2

http://www.wolframalpha.com/input/?i=r%3D1%2B+cos+(6theta)

B2

http://www.wolframalpha.com/input/?i=r%3D1-+(sqrt2+%2B1)^2+cos+(4theta)

G2

http://www.wolframalpha.com/input/?i=r%3D1-(sqrt+3+%2B1)^2cos+(6theta)/2

[1]

ADE 의 분류

(0) G cannot contain affine A_n, D_n, E_n

(1) G is a tree (contains no cycles = affine A_n)

(2) G has \leq 1 branch point (does not contain affine D_5, D_6,D_7, )

(3) branch point has order \leq 3 (affine D_4) What are length of legs of G?

Leg of length 0 -> G=A_n

so assume legs have length \geq 1

(4) Not all legs have length \geq 2 : cannot contain affine E_6

so one leg has length 1

2 legs of length 1 : G is D_n

so can assume 2 other legs have length \geq 2

(5) cannot have 2 legs length \geq 3 because of affine E_7

So G has 1 leg length 1, 1 of length 2, one of length \geq 2

length is \leq 4, as G does not contain affine E_8

So G is E6,E7, E8

일반적인 경우

• how to classify all connected admissible diagrams
  • subdiagram is also admissible
  • there are at most (n-1) pairs of nodes
  • no node has more than 3 lines
  • study double lines and triple nodes

reflection groups

• B_n, C_n, BC_n -> same reflection group (Z/nZ).S_n

역사

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

메모

• \(\bullet - \bullet\)
• http://demonstrations.wolfram.com/2DRootSystems/
• reflection groups
• lie algebras
• Lie groups
• algebraic groups
• surfaces singularities
• quiver
• Platonic Solids

관련된 항목들

• 리군과 리대수

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxWTU1UnRqVlRrZ00/edit

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/root_systems
• http://en.wikipedia.org/wiki/Dynkin_diagram
• http://en.wikipedia.org/wiki/Coxeter_number

관련논문

• Two Amusing Dynkin Diagram Graph Classifications Robert A. Proctor, The American Mathematical Monthly, Vol. 100, No. 10 (Dec., 1993), pp. 937-941

메타데이터

위키데이터

• ID : Q534131