격자의 지겔 세타 급수

개요

• 자연수 $g$와 격자 $\Lambda$에 대하여 정의되는 함수 $\Theta_\Lambda^{(g)}(\tau)$
• 정의역은 지겔 상반 공간

$$ \mathcal{H}_g=\left\{\tau \in M_{g \times g}(\mathbb{C}) \ \big| \ \tau^{\mathrm{T}}=\tau, \textrm{Im}(\tau) \text{ positive definite} \right\} $$

• 격자의 세타함수는 $g=1$인 경우에 해당

기호

• $\Lambda\subset \mathbb{R}^n$ $n$차원 격자
• $M$는 각 행이 $\Lambda$의 기저가 되는 $n\times n$ 행렬
• $A:=M^tM$는 $\Lambda$의 그램 행렬

g가 1인 경우

• 격자 $\Lambda$에 대하여, $N_m$를 $\{x\in\Lambda|x\cdot x=m\}$의 원소의 개수로 정의
• $N_m$는 $\zeta A \zeta^{t} =m$를 만족하는 정수벡터 $\zeta$의 개수로 이해할 수 있다
• 다시 말해, $\Lambda$에 의해 얻어지는 이차형식이 정수 $m$을 표현하는 방법의 수이다
• $\Lambda$의 세타함수는 복소상반평면 $\mathcal{H}_1$을 정의역으로 하는 다음과 같은 함수가 된다

$$ \Theta_\Lambda(\tau)=\sum_{x\in\Lambda}q^{x\cdot x}=\sum_{m=0}^\infty N_mq^m, $$ 여기서 $q=e^{\pi i \tau}$이고, $\tau\in\mathcal{H}_1$.

예

• $\mathbb{Z}$의 세타함수는 자코비 세타함수로 다음과 같다

$$\Theta_{\mathbb{Z}}(\tau)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}q^{m^2}=1+2q+2q^4+2q^9+\cdots\equiv\theta[{}_0^0](\tau)$$

일반적인 자연수 g에 대한 세타함수의 일반화

• 자연수 $g$, (리만곡면의 genus에서 g가 온 것이다)
• $\underline{\zeta}$를 정수계수를 갖는 $g\times n$ 행렬이라 하자
• $\underline{x}$는 각 행이 격자 $\Lambda$의 원소가 되는 $g\times n$ 행렬이라 하자
• $\underline{x}=\underline{\zeta}M$
• 이제 각각의 정수계수 $g\times g$ 행렬 $\underline{m}$에 대하여, $N_{\underline{m}}\in\mathbb{Z}$를 다음 방정식의 해의 개수로 정의하자

$$ \underline{\zeta} A \underline{\zeta}^t =\underline{m}, $$

• $\underline{m}$의 성분 $m_{i,j}$는 $\underline{x}$의 두 행 $x_i,x_j\in\Lambda$ 사이의 내적이다
• 따라서 $N_{\underline{m}}$는 $x_i\cdot x_j=m_{ij}$를 만족하는 g-벡터 $\underline{x}=(x_i)$의 개수이다
• $\Lambda$에 대한 genus $g$ 세타함수는 지겔 상반 공간 $\mathcal{H}_g$에 정의되는 다음과 같은 해석함수이다

$$ \begin{align} \Theta_\Lambda^{(g)}(\tau)&=\sum_{x\in\Lambda^{(g)}}e^{\pi i\operatorname{Tr}(x\cdot x)}\\ &=\sum_{\underline{\zeta}\in\mathbb{Z}^{g,n}}e^{\pi i\operatorname{Tr}(\underline{\zeta} A \underline{\zeta}^{t}\tau)}\\ &=\sum_{\underline{m}} N_{\underline{m}}\prod_{i\leq j}e^{\pi i m_{ij}\tau_{ij}}, \end{align} $$ and $\tau\in\mathcal{H}_g$.

• 짝수 자기쌍대 격자의 세타함수는 $\Gamma_g$에 대하여 weight $\frac{n}{2}$인 지겔 모듈라 형식
• 홀수 자기쌍대 격자는 $\Gamma_g(1,2)$에 대하여 weight $\frac{n}{2}$인 지겔 모듈라 형식
• 여기서

\begin{align*} & \Gamma_g:={\rm Sp}(2g,\mathbb{Z}), \qquad \Gamma_g(2):=\{ M\in \Gamma_g \mid M=\mathbb{I}\ {\rm mod} 2 \} \\ & \Gamma_g (1,2) :=\{ M=\left(^A_C{}^B_D \right) \in \Gamma_g (2) \mid \ A B^{t} ={\rm diag} C\ D^{t} =0 \ {\rm mod} 2 \}. \end{align*}

관련된 항목들

• 격자의 세타함수
• 16차원 짝수 자기쌍대 격자
• 24차원 짝수 자기쌍대 격자

관련논문

• Piazza, Francesco Dalla, Davide Girola, and Sergio L. Cacciatori. 2010. “Classical Theta Constants vs. Lattice Theta Series, and Super String Partition Functions.” Journal of High Energy Physics 2010 (11): 1–24. doi:10.1007/JHEP11(2010)082.