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* 크기가 2n이며 정이면체군 <math>D_n</math>이라 부른다 | * 크기가 2n이며 정이면체군 <math>D_n</math>이라 부른다 | ||
* 생성원과 관계식:<math>\left\langle a,b\mid a^2=b^n=1, a^{-1}ba=b^{-1}\right\rangle</math> | * 생성원과 관계식:<math>\left\langle a,b\mid a^2=b^n=1, a^{-1}ba=b^{-1}\right\rangle</math> | ||
| − | * semidirect product <math>D_{n}= C_{n} \rtimes \mathbb{Z}_{2}</math> 로 쓸 수 있다 | + | * [[반직접곱 (semidirect product)]] <math>D_{n}= C_{n} \rtimes \mathbb{Z}_{2}</math> 로 쓸 수 있다 |
* [[유한반사군과 콕세터군(finite reflection groups and Coxeter groups)|콕세터군]]으로서의 생성원과 관계식:<math>\left\langle r_1,r_2\mid r_1^2=r_2^2=(r_1r_2)^{n}=1\right\rangle</math> | * [[유한반사군과 콕세터군(finite reflection groups and Coxeter groups)|콕세터군]]으로서의 생성원과 관계식:<math>\left\langle r_1,r_2\mid r_1^2=r_2^2=(r_1r_2)^{n}=1\right\rangle</math> | ||
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==반사 변환과 회전== | ==반사 변환과 회전== | ||
2014년 10월 30일 (목) 05:27 판
개요
- 정n각형의 자기동형군
- 크기가 2n이며 정이면체군 \(D_n\)이라 부른다
- 생성원과 관계식\[\left\langle a,b\mid a^2=b^n=1, a^{-1}ba=b^{-1}\right\rangle\]
- 반직접곱 (semidirect product) \(D_{n}= C_{n} \rtimes \mathbb{Z}_{2}\) 로 쓸 수 있다
- 콕세터군으로서의 생성원과 관계식\[\left\langle r_1,r_2\mid r_1^2=r_2^2=(r_1r_2)^{n}=1\right\rangle\]
반사 변환과 회전
- 벡터 \((\cos (\theta ),\sin (\theta ))\)를 법벡터로 갖는 직선에 대한 반사 변환을 행렬로 다음과 같이 표현할 수 있다
\[s_{\theta}=\left( \begin{array}{cc} -\cos (2 \theta ) & -\sin (2 \theta ) \\ -\sin (2 \theta ) & \cos (2 \theta ) \end{array} \right)\]
- 가령 \(\theta=0\)인 경우는 y-축에 대한 반사변환이 되며, 다음 행렬로 표현된다\[\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\]
- 두 반사 변환 \(s_{\theta_1},s_{\theta_2}\)의 합성 \(s_{\theta_1}s_{\theta_2}\)은 다음과 같은 회전변환이 된다\[\left( \begin{array}{cc} \cos \left(2 \theta _1-2 \theta _2\right) & -\sin \left(2 \theta _1-2 \theta _2\right) \\ \sin \left(2 \theta _1-2 \theta _2\right) & \cos \left(2 \theta _1-2 \theta _2\right) \end{array} \right)\]
정이면체군의 기하학적 이해
- 정이면체군 \(D_n\)은 정n각형의 자기동형군으로 이해할 수 있다
- 다음 두 반사변환은 생성원이 된다\[x=\left( \begin{array}{cc} -\cos \left(\frac{2 \pi }{n}\right) & -\sin \left(\frac{2 \pi }{n}\right) \\ -\sin \left(\frac{2 \pi }{n}\right) & \cos \left(\frac{2 \pi }{n}\right) \end{array} \right)\]\[y=\left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\]
- x와 y의 합성으로부터, order가 n인 다음 회전변환을 얻을 수 있다 (콕세터 원소(Coxeter element) )\[\left( \begin{array}{cc} \cos \left(\frac{2 \pi }{n}\right) & -\sin \left(\frac{2 \pi }{n}\right) \\ \sin \left(\frac{2 \pi }{n}\right) & \cos \left(\frac{2 \pi }{n}\right) \end{array} \right)\]
D5와 정오각형의 예
- 정이면체군 \(D_5\) 는 10개의 원소로 이루어져 있으며, 각각의 원소는 정오각형에 다음과 같은 대칭변환으로 작용한다
역사
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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