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==국소적 가우스-보네 정리==
 
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* $T$ :곡면상의 영역, $K$ : 가우스 곡률, $\alpha_i$ : 꼭지점에서의 angle jump,$k_g$ : 곡선의 측지곡률
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* <math>T</math> :곡면상의 영역, <math>K</math> : 가우스 곡률, <math>\alpha_i</math> : 꼭지점에서의 angle jump,<math>k_g</math> : 곡선의 측지곡률
 
:<math>\int_T K dA = 2\pi -\sum \alpha_i -\int_{\partial T}k_g ds</math>
 
:<math>\int_T K dA = 2\pi -\sum \alpha_i -\int_{\partial T}k_g ds</math>
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* 둘레가 측지선으로 이루어진 다각형 $T$의 경우에는 다음과 같이 단순화시킬 수 있음
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* 둘레가 측지선으로 이루어진 다각형 <math>T</math>의 경우에는 다음과 같이 단순화시킬 수 있음
 
:<math>\int_T K dA = 2\pi -\sum_{v\text{ : vertex}} \text{external angle at }v</math>
 
:<math>\int_T K dA = 2\pi -\sum_{v\text{ : vertex}} \text{external angle at }v</math>
  
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==대역적 가우스-보네 정리==
 
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유향 컴팩트 곡면 $M$에 대하여, 다음이 성립한다
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유향 컴팩트 곡면 <math>M</math>에 대하여, 다음이 성립한다
 
:<math>\int_M K dA= 2\pi\chi(M)</math>
 
:<math>\int_M K dA= 2\pi\chi(M)</math>
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여기서 $\chi(M)$는 $M$의 오일러 특성수
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여기서 <math>\chi(M)</math>는 <math>M</math>의 오일러 특성수
  
 
* 대역적 가우스-보네 정리는 국소적인 가우스-보네 정리로부터 증명 가능
 
* 대역적 가우스-보네 정리는 국소적인 가우스-보네 정리로부터 증명 가능
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먼저 곡면의 측지다각형으로의 분해를, $M=T_1\cup \cdots \cup T_n$으로 두자.
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먼저 곡면의 측지다각형으로의 분해를, <math>M=T_1\cup \cdots \cup T_n</math>으로 두자.
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각 다각형 $T_i$에 대해 국소 가우스-보네 정리를 적용하여 다음을 얻는다
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각 다각형 <math>T_i</math>에 대해 국소 가우스-보네 정리를 적용하여 다음을 얻는다
 
:<math>\int_{T_i} K dA = 2\pi -\sum_{v\text{ : vertex}} \text{external angle at }v</math>
 
:<math>\int_{T_i} K dA = 2\pi -\sum_{v\text{ : vertex}} \text{external angle at }v</math>
 
각 다각형에 대한 결과를 모두 더하여 다음을 얻는다.
 
각 다각형에 대한 결과를 모두 더하여 다음을 얻는다.
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\begin{align}
 
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\int_M K dA &= \sum_i \int_{T_i} K dA \\
 
\int_M K dA &= \sum_i \int_{T_i} K dA \\
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&=2\pi\chi(M)
 
&=2\pi\chi(M)
 
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(각각의 모서리는 두 번씩 세어짐) ■  
 
(각각의 모서리는 두 번씩 세어짐) ■  
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* 천(Chern)에 의한 일반화
 
* 천(Chern)에 의한 일반화
 
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$2n$차원 유향 컴팩트 다양체에 대하여, 다음이 성립한다
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<math>2n</math>차원 유향 컴팩트 다양체에 대하여, 다음이 성립한다
 
:<math>\int_M \mbox{Pf}(\Omega)=(2\pi)^n\chi(M)\ </math>
 
:<math>\int_M \mbox{Pf}(\Omega)=(2\pi)^n\chi(M)\ </math>
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여기서 $\Omega$는 곡률 형식, $\mbox{Pf}$는 [[파피안(Pfaffian)]]
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여기서 <math>\Omega</math>는 곡률 형식, <math>\mbox{Pf}</math>는 [[파피안(Pfaffian)]]
  
  

2020년 11월 12일 (목) 06:48 판

개요

  • 곡면의 기하학적 성질과 위상적인 성질을 연결해 주는 정리.
  • 학부 미분기하학의 가장 중요한 정리중 하나임.



국소적 가우스-보네 정리

  • \(T\) :곡면상의 영역, \(K\) : 가우스 곡률, \(\alpha_i\) : 꼭지점에서의 angle jump,\(k_g\) : 곡선의 측지곡률

\[\int_T K dA = 2\pi -\sum \alpha_i -\int_{\partial T}k_g ds\]

  • 둘레가 측지선으로 이루어진 다각형 \(T\)의 경우에는 다음과 같이 단순화시킬 수 있음

\[\int_T K dA = 2\pi -\sum_{v\text{ : vertex}} \text{external angle at }v\]


대역적 가우스-보네 정리

정리

유향 컴팩트 곡면 \(M\)에 대하여, 다음이 성립한다 \[\int_M K dA= 2\pi\chi(M)\] 여기서 \(\chi(M)\)는 \(M\)의 오일러 특성수

  • 대역적 가우스-보네 정리는 국소적인 가우스-보네 정리로부터 증명 가능


증명

먼저 곡면의 측지다각형으로의 분해를, \(M=T_1\cup \cdots \cup T_n\)으로 두자. 각 다각형 \(T_i\)에 대해 국소 가우스-보네 정리를 적용하여 다음을 얻는다 \[\int_{T_i} K dA = 2\pi -\sum_{v\text{ : vertex}} \text{external angle at }v\] 각 다각형에 대한 결과를 모두 더하여 다음을 얻는다. \[ \begin{align} \int_M K dA &= \sum_i \int_{T_i} K dA \\ &=2\pi F-\sum_{F\text{:faces}}\sum_{v \text{:vertex of }F} (\pi - \text{internal angle at }v)\\ &=2\pi F-\sum_{F\text{:faces}}\sum_{v \text{:vertex of }F}\pi - \sum_{F\text{:faces}}\sum_{v \text{:vertex of }F} \text{internal angle at }v\\ &=2\pi F-\sum_{F\text{:faces}}(\text{number of vertices of } F) \pi + 2\pi V \\ &=2\pi F-\sum_{F\text{:faces}}(\text{number of edges of } F) \pi+2\pi V \\ &=2\pi F-2\pi E +2 \pi V \\ &=2\pi\chi(M) \end{align} \]

(각각의 모서리는 두 번씩 세어짐) ■


일반화

  • 천(Chern)에 의한 일반화
정리

\(2n\)차원 유향 컴팩트 다양체에 대하여, 다음이 성립한다 \[\int_M \mbox{Pf}(\Omega)=(2\pi)^n\chi(M)\ \] 여기서 \(\Omega\)는 곡률 형식, \(\mbox{Pf}\)는 파피안(Pfaffian)


메모

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들




관련된 항목들


관련도서


사전 형태의 참고자료

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