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2010년 6월 8일 (화) 10:56 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
중심이항계수
- 중심이항계수(central binomial coefficient)
[[중심이항계수(central binomial coefficient)|]]\(\zeta(4) = \frac{36}{17} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}\) - 폴리로그 함수(polylogarithm)를 통하여 이해가능
\(2(\sin^{-1} x)^2=\sum_{n=1}^{\finfty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}\)
를 이용하여, 다음을 증명할 수 있다
\(I=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\int_{0}^{1/2}\int_{0}^{u}(\sin^{-1} x)^2\frac{dx}{x}\frac{du}{u}\)
한편
\(I=\int_{0}^{1/2}\int_{0}^{u}(\sin^{-1} x)^2\frac{dx}{x}\frac{du}{u}=2\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx\)
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관련논문
- On an Intriguing Integral and Some Series Related to ζ(4)
- David Borwein and Jonathan M. Borwein, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 123, No. 4 (Apr., 1995), pp. 1191-1198
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