"대수적 베테 가설 풀이(algebraic Bethe ansatz)"의 두 판 사이의 차이

2020년 11월 13일 (금) 21:04 판

하이젠베르크 스핀 1/2 XXX 고리 모형

해밀토니안

하이젠베르크 스핀 1/2 XXX 모형(Heisenberg model)의 해밀토니안 \[H = \sum_{n=1}^{N-1}H_{n,n+1}+H_{N,1}\label{ham}\] 여기서 \(H_{i,j}\) 는 two-site 해밀토니안으로 다음과 같이 정의됨

\[H_{i,j}=\frac{J}{4}(\sigma_i^x \sigma_{j}^x +\sigma_i^y \sigma_{j}^y + \sigma_i^z \sigma_{j}^z-I^{\otimes N})=\frac{J}{2}(P_{ij}-I^{\otimes N})\] \(P_{ij}\)는 치환연산자

J>0 는 antiferromagnet 의 모형
J<0 는 ferromagnet 의 모형
해밀토니안을 대각화하는 문제에 베테안싸쯔가 사용된다

R-matrix와 양-박스터 방정식

\(V=\mathbb{C}^2\)로 두자
\(R(u): V \otimes V \to V \otimes V\) 를 다음과 같이 정의하며, R-행렬이라 부른다

\[ \left( \begin{array}{cccc} u+i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & u & i & 0 \\ 0 & i & u & 0 \\ 0 & 0 & 0 & u+i \end{array} \right) \]

R-행렬은 다음의 관계식을 만족하며 이를 양-박스터 방정식이라 부른다

\[R_{12}(u)R_{13}(u+v)R_{23}(v)=R_{23}(v)R_{13}(u+v)R_{12}(u)\] 여기서 \(R_{ij}(u) : V_1\otimes V_2\otimes V_3\to V_1\otimes V_2\otimes V_3\)의 \(i,j\) 부분에 작용하는 R-행렬

모노드로미 행렬

모노드로미 행렬

\[ T_0(\lambda )=\left( \begin{array}{cc} A(\lambda ) & B(\lambda ) \\ C(\lambda ) & D(\lambda ) \end{array} \right) \]

여기서 \(V^{\otimes N}\)에 작용하는 연산자 \(A(\lambda ) ,B(\lambda ) , C(\lambda ) , D(\lambda )\) 는 다음과 같은 관계를 만족한다 \[ \begin{eqnarray} \left[ B(\lambda), B(\lambda') \right] \ &=& 0 \\ A(\lambda)\ B(\lambda') &=& {a(\lambda' - \lambda)\over b(\lambda' - \lambda)} B(\lambda')\ A(\lambda) - {c(\lambda' - \lambda)\over b(\lambda' - \lambda)} B(\lambda)\ A(\lambda') \\ D(\lambda)\ B(\lambda') &=& {a(\lambda - \lambda')\over b(\lambda - \lambda')}B(\lambda')\ D(\lambda) - {c(\lambda - \lambda')\over b(\lambda - \lambda')} B(\lambda)\ D(\lambda') \end{eqnarray} \]

베테안싸쯔 방정식

다음의 방정식을 하이젠베르크 스핀 1/2 XXX 모형의 베테 안싸쯔 방정식이라 한다

\[\begin{eqnarray}\label{bae} \left( {\lambda_{\alpha} + {i\over 2} \over \lambda_{\alpha} - {i\over 2}} \right)^{N} = \prod_{\scriptstyle{\beta=1}\atop \scriptstyle{\beta \ne \alpha}}^M {\lambda_{\alpha} - \lambda_{\beta} + i \over \lambda_{\alpha} - \lambda_{\beta} - i } \,, \qquad \alpha = 1 \,, \cdots \,, M \,. \end{eqnarray}\]

베테안싸쯔 방정식은 다음과 같이 표현되기도 한다

\[ \exp(ik_jN)\prod_{i \neq j}^{M}S(\lambda_j,\lambda_i)=1 \,, \qquad j = 1 \,, \cdots \,, M \,. \] 여기서 \(e^{i k_j}=\frac{\lambda_j+i/2}{\lambda_j-i/2}\) 또는 \(\lambda_j=\frac{1}{2}\cot \frac{k_j}{2}\) 그리고 \[ S(v,u)=\frac{u-v-i}{u-v+i}. \]

베테안싸쯔 방정식 \ref{bae}의 해를 베테 해(Bethe roots)라 부르며, 각각의 베테 해로부터 해밀토니안 \ref{ham}의 고유벡터를 얻게 된다

고유벡터와 고유값

베테 해 \((u_1,\cdots, u_M)\)으로부터 \(|u_1,\cdots, u_M\rangle=\prod_{i=1}^{M}B(u_i)|0\rangle \in V^{\otimes N}\)를 얻고, 벡터 \(|u_1,\cdots, u_M\rangle\) 는 해밀토니안의 고유벡터이며, 고유값 \(E\)은 다음과 같이 주어진다

\[ E=-\frac{J}{2}\sum_{i=1}^{M}\frac{1}{u_{i}^2+\frac{1}{4}} \]

격자 모형 : 6-vertex model

\[R(u,\eta)=\rho\left( \begin{array}{cccc} \sin (u+\eta ) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sin (u) & \sin (\eta ) & 0 \\ 0 & \sin (\eta ) & \sin (u) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \sin (u+\eta ) \end{array} \right)\]

메모

http://en.wikipedia.org/wiki/Partial_trace

계산 리소스 및 매스매티카 파일

Day 2 - Coordinate Bethe Ansatz
Day 2 - Algebraic Curve and Coordinate Bethe Ansatz
- Konstantin Zarembo, Anti-Ferro through BAE exercise pdf
- Jason Harris, Lecture 2 notebook
- Jason Harris, Exercise 2 pdf
- Nikolay Gromov, Exercise.pdf
- Nikolay Gromov, [ http://msstp.org/sites/default/files/Lecture%202%20-%20Problem%201%20sol.nb solution (nb)]
- Konstantin Zarembo, Anti-Ferro through BAE, solution (nb)
- Jason Harris, Solution (nb)
Day 3 - Algebraic Bethe Ansatz, Flat Space Analogies and Coset
- Romuald Janik, Yang-Baxter exercise .pdf
- Romuald Janik, Yang-Baxter solution .nb
Day 5 - Yang-Baxter, Delta Bosons, Contact Terms

리뷰논문, 에세이, 강의노트

Ragoucy, E Nested Bethe ansatz for spin chains, March 2009
- video
Christoph Sieg Lecture notes on classical integrability and on the algebraic Bethe ansatz for the XXX 1/2 Heisenberg spin chain
Nepomechie, Rafael I. 1998. “A Spin Chain Primer.” arXiv:hep-th/9810032 (October 5). http://arxiv.org/abs/hep-th/9810032.
Faddeev, L. D. 1996. “How Algebraic Bethe Ansatz Works for Integrable Model.” arXiv:hep-th/9605187 (May 26). http://arxiv.org/abs/hep-th/9605187.
Takhtajan, L. A. “Introduction to Algebraic Bethe Ansatz.” In Exactly Solvable Problems in Condensed Matter and Relativistic Field Theory, edited by B. S. Shastry, S. S. Jha, and V. Singh, 175–219. Lecture Notes in Physics 242. Springer Berlin Heidelberg, 1985. http://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-16075-2_11.

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 ==하이젠베르크 스핀 1/2 XXX 고리 모형==
 ===해밀토니안===
-* [[하이젠베르크 스핀 1/2 XXX 모형(Heisenberg model)]]의 해밀토니안 $$H = \sum_{n=1}^{N-1}H_{n,n+1}+H_{N,1}\label{ham}$$ 여기서 $H_{i,j}$ 는 two-site 해밀토니안으로 다음과 같이 정의됨
+* [[하이젠베르크 스핀 1/2 XXX 모형(Heisenberg model)]]의 해밀토니안 :<math>H = \sum_{n=1}^{N-1}H_{n,n+1}+H_{N,1}\label{ham}</math> 여기서 <math>H_{i,j}</math> 는 two-site 해밀토니안으로 다음과 같이 정의됨
-$$H_{i,j}=\frac{J}{4}(\sigma_i^x \sigma_{j}^x +\sigma_i^y \sigma_{j}^y + \sigma_i^z \sigma_{j}^z-I^{\otimes N})=\frac{J}{2}(P_{ij}-I^{\otimes N})$$
+:<math>H_{i,j}=\frac{J}{4}(\sigma_i^x \sigma_{j}^x +\sigma_i^y \sigma_{j}^y + \sigma_i^z \sigma_{j}^z-I^{\otimes N})=\frac{J}{2}(P_{ij}-I^{\otimes N})</math>
-$P_{ij}$는 치환연산자
+<math>P_{ij}</math>는 치환연산자
 * J>0 는 antiferromagnet 의 모형
 * J<0 는 ferromagnet 의 모형
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 ===R-matrix와 양-박스터 방정식===
-* $V=\mathbb{C}^2$로 두자
+* <math>V=\mathbb{C}^2</math>로 두자
-* $R(u): V \otimes V \to V \otimes V$ 를 다음과 같이 정의하며, R-행렬이라 부른다
+* <math>R(u): V \otimes V \to V \otimes V</math> 를 다음과 같이 정의하며, R-행렬이라 부른다
-$$
+:<math>
 \left(
 \begin{array}{cccc}
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 \end{array}
 \right)
-$$
+</math>
 * R-행렬은 다음의 관계식을 만족하며 이를 양-박스터 방정식이라 부른다
-$$R_{12}(u)R_{13}(u+v)R_{23}(v)=R_{23}(v)R_{13}(u+v)R_{12}(u)$$
+:<math>R_{12}(u)R_{13}(u+v)R_{23}(v)=R_{23}(v)R_{13}(u+v)R_{12}(u)</math>
-여기서 $R_{ij}(u) : V_1\otimes V_2\otimes V_3\to V_1\otimes V_2\otimes V_3$의 $i,j$ 부분에 작용하는 R-행렬
+여기서 <math>R_{ij}(u) : V_1\otimes V_2\otimes V_3\to V_1\otimes V_2\otimes V_3</math>의 <math>i,j</math> 부분에 작용하는 R-행렬
 ===모노드로미 행렬===
 * 모노드로미 행렬
-$$
+:<math>
 T_0(\lambda )=\left(
 \begin{array}{cc}
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 \end{array}
 \right)
-$$
+</math>
-여기서 $V^{\otimes N}$에 작용하는 연산자 $A(\lambda ) ,B(\lambda ) , C(\lambda ) , D(\lambda )$ 는 다음과 같은 관계를 만족한다
+여기서 <math>V^{\otimes N}</math>에 작용하는 연산자 <math>A(\lambda ) ,B(\lambda ) , C(\lambda ) , D(\lambda )</math> 는 다음과 같은 관계를 만족한다
-$$
+:<math>
 \begin{eqnarray}
 \left[ B(\lambda), B(\lambda') \right] \ &=& 0 \\
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 {c(\lambda - \lambda')\over b(\lambda - \lambda')} B(\lambda)\ D(\lambda')
 \end{eqnarray}
-$$
+</math>
 ===베테안싸쯔 방정식===
 * 다음의 방정식을 [[하이젠베르크 스핀 1/2 XXX 모형의 베테 안싸쯔 방정식]]이라 한다
-$$\begin{eqnarray}\label{bae}
+:<math>\begin{eqnarray}\label{bae}
 \left(  {\lambda_{\alpha} + {i\over 2}
 \over   \lambda_{\alpha} - {i\over 2}} \right)^{N}
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   \lambda_{\alpha} - \lambda_{\beta} - i }
 \,, \qquad \alpha = 1 \,, \cdots \,, M \,.
-\end{eqnarray}$$
+\end{eqnarray}</math>
 * 베테안싸쯔 방정식은 다음과 같이 표현되기도 한다
-$$
+:<math>
 \exp(ik_jN)\prod_{i \neq j}^{M}S(\lambda_j,\lambda_i)=1
 \,, \qquad j = 1 \,, \cdots \,, M \,.
-$$ 여기서 $e^{i k_j}=\frac{\lambda_j+i/2}{\lambda_j-i/2}$ 또는 $\lambda_j=\frac{1}{2}\cot \frac{k_j}{2}$ 그리고
+</math> 여기서 <math>e^{i k_j}=\frac{\lambda_j+i/2}{\lambda_j-i/2}</math> 또는 <math>\lambda_j=\frac{1}{2}\cot \frac{k_j}{2}</math> 그리고
-$$
+:<math>
 S(v,u)=\frac{u-v-i}{u-v+i}.
-$$
+</math>
 * 베테안싸쯔 방정식 \ref{bae}의 해를 베테 해(Bethe roots)라 부르며, 각각의 베테 해로부터 해밀토니안 \ref{ham}의 고유벡터를 얻게 된다
 ===고유벡터와 고유값===
-* 베테 해 $(u_1,\cdots, u_M)$으로부터 $|u_1,\cdots, u_M\rangle=\prod_{i=1}^{M}B(u_i)|0\rangle \in V^{\otimes N}$를 얻고, 벡터 $|u_1,\cdots, u_M\rangle$ 는 해밀토니안의 고유벡터이며, 고유값 $E$은 다음과 같이 주어진다
+* 베테 해 <math>(u_1,\cdots, u_M)</math>으로부터 <math>|u_1,\cdots, u_M\rangle=\prod_{i=1}^{M}B(u_i)|0\rangle \in V^{\otimes N}</math>를 얻고, 벡터 <math>|u_1,\cdots, u_M\rangle</math> 는 해밀토니안의 고유벡터이며, 고유값 <math>E</math>은 다음과 같이 주어진다
-$$
+:<math>
 E=-\frac{J}{2}\sum_{i=1}^{M}\frac{1}{u_{i}^2+\frac{1}{4}}
-$$
+</math>
 ==격자 모형 : 6-vertex model==
-$$R(u,\eta)=\rho\left(
+:<math>R(u,\eta)=\rho\left(
 \begin{array}{cccc}
   \sin (u+\eta ) & 0 & 0 & 0 \\
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 & 0 & 0 & \sin (u+\eta )
 \end{array}
-\right)$$
+\right)</math>