"격자의 세타함수"의 두 판 사이의 차이

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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;"><math>\theta(\tau)=\sum_{n\in \mathbb Z}q^{\frac{n^2}{2}}=  \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau}</math>정의</h5>
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*  격자 <math>L</math> 에 대하여 세타함수를 다음과 같이 정의함<br><math>\theta_L(\tau)=\sum_{x\in L}q^{\frac{x^2}{2}}, q=e^{2\pi i \tau}</math><br>
 
*  격자 <math>L</math> 에 대하여 세타함수를 다음과 같이 정의함<br><math>\theta_L(\tau)=\sum_{x\in L}q^{\frac{x^2}{2}}, q=e^{2\pi i \tau}</math><br>
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<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">자코비 세타함수의 경우</h5>
 
<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">자코비 세타함수의 경우</h5>
  
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*  격자가 정수집합 <math>\mathbb Z</math> 로 주어진 경우의 세타함수.<br><math>\theta(\tau)=\sum_{n\in \mathbb Z}q^{\frac{n^2}{2}}= \sum_{n=-\infty}^\infty \exp(\pi i n^2\tau)</math>, <math>q=e^{2\pi i \tau}</math><br>
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*  격자가 정수집합 <math>\mathbb Z</math> 로 주어진 경우의 세타함수<br><math>\theta(\tau)=\sum_{n\in \mathbb Z}q^{\frac{n^2}{2}}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau}</math>, <math>q=e^{2\pi i \tau}</math><br>
  
 
 
 
 
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먼저 cusp 에서의 푸리에 급수 조건은 정의에 당연히 만족된다. ( <math>\theta_L(i\infty)=1</math> 도 알 수 있음.)
 
먼저 cusp 에서의 푸리에 급수 조건은 정의에 당연히 만족된다. ( <math>\theta_L(i\infty)=1</math> 도 알 수 있음.)
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[[포아송의 덧셈 공식]]을 사용하자.
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2009년 9월 10일 (목) 08:17 판

정의
  • 격자 \(L\) 에 대하여 세타함수를 다음과 같이 정의함
    \(\theta_L(\tau)=\sum_{x\in L}q^{\frac{x^2}{2}}, q=e^{2\pi i \tau}\)
  • 여기서 \(x^2\) 은 벡터 \(x\)의 norm 을 가리킴.
     
자코비 세타함수의 경우
  • 격자가 정수집합 \(\mathbb Z\) 로 주어진 경우의 세타함수
    \(\theta(\tau)=\sum_{n\in \mathbb Z}q^{\frac{n^2}{2}}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau}\), \(q=e^{2\pi i \tau}\)

 

세타함수의 모듈라 성질

(정리)

rank가 2n의 even unimodular 격자 \(L\)에 대하여 , 세타함수 \(\theta_L\) 은 weight n인 모듈라 형식이 된다.

 

(증명)

먼저 cusp 에서의 푸리에 급수 조건은 정의에 당연히 만족된다. ( \(\theta_L(i\infty)=1\) 도 알 수 있음.)

포아송의 덧셈 공식을 사용하자.

 

 

 

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