격자의 세타함수

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정의

• 격자 \(L\) 에 대하여 세타함수를 다음과 같이 정의함
  \(\theta_L(\tau)=\sum_{x\in L}q^{\frac{x^2}{2}}, q=e^{2\pi i \tau}\)
  
• 여기서 \(x^2\) 은 벡터 \(x\)의 norm 을 가리킴.
  

 

 

자코비 세타함수의 경우

• 격자가 정수집합 \(\mathbb Z\) 로 주어진 경우의 세타함수
  \(\theta(\tau)=\sum_{n\in \mathbb Z}q^{\frac{n^2}{2}}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau}\), \(q=e^{2\pi i \tau}\)
  

 

 

세타함수의 모듈라 성질

(정리)

rank가 2n의 even unimodular 격자 \(L\)에 대하여 , 세타함수 \(\theta_L\) 은 weight n인 모듈라 형식이 된다.

 

(증명)

먼저 cusp 에서의 푸리에 급수 조건은 정의에 만족된다. ( \(\theta_L(i\infty)=1\) 도 알 수 있음.)

포아송의 덧셈 공식을 사용하자.

 

 

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