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* [[q-가우스 합]] 에서 얻어진 다음 결과를 이용<br><math>\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}</math>, <math>\gamma_n=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}</math><br><math>\gamma_{n}=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{\delta_{n+r}}{(x)_{r+2n}(q)_{r}}</math><br> | * [[q-가우스 합]] 에서 얻어진 다음 결과를 이용<br><math>\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}</math>, <math>\gamma_n=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}</math><br><math>\gamma_{n}=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{\delta_{n+r}}{(x)_{r+2n}(q)_{r}}</math><br> | ||
* 다음의 특수한 경우<br><math>x=q^2, y\to\infty, z\to\infty</math>.<br> | * 다음의 특수한 경우<br><math>x=q^2, y\to\infty, z\to\infty</math>.<br> | ||
| − | * <br> 얻어진 켤레 베일리 쌍<br><math>\delta_n=q^{n^2+n}</math><br><math>\gamma_n=\frac{1-q}{(q)_{\infty}}q^{n^2-n}</math><br> <br> | + | * <br> 얻어진 켤레 베일리 쌍<br><math>\delta_n=q^{n^2+n}</math><br><math>\gamma_n=\frac{(1-q)}{(q)_{\infty}}q^{n^2-n}</math><br> |
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| + | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">베일리 쌍의 유도</h5> | ||
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| + | * <br> 다음을 이용 '''[Slater51] '''(4.2)<br> | ||
| + | * <math>\sum_{r=-[n/2]}^{r=[n/2]}\frac{(1-aq^{4r})(q^{-n})_{2r}a^{2r}q^{2nr+r}(d)_{q^2,r}(e)_{q^2,r}}{(1-a)(aq^{n+1})_{2r}d^re^r(aq^2/d)_{q^2,r}(aq^2/e)_{q^2,r}}=\frac{(q^2/a,aq/d,aq/e,aq^2/de;q^2)_{\infty}}{(q,q^2/d,q^2/e,a^2q/de;q^2)_{\infty}}\frac{(q)_{n}(aq)_{n}(a^2/de)_{q^2,n}}{(aq)_{q^2,n}(aq/d)_{n}(aq/e)_{n}}</math> | ||
| + | * 다음의 특수한 경우<br><math>a=q,d\to\infty,e\to\infty</math><br> | ||
| + | * 얻어진 베일리 쌍<br><math>\alpha_{0}=1</math>, <math>\alpha_{n}=(-1)^{n}q^{n^2}(1-q^{2n+1})/(1-q)</math><br><math>\beta_n=\sum_{r=0}^{n}\frac{\alpha_r}{(x)_{n-r}(q)_{n+r}}=\sum_{r=0}^{n}\frac{\alpha_r}{(q^{2})_{n-r}(q)_{n+r}}=\frac{(-1)^n}{(q^2;q^2)_{n}}</math><br> | ||
2011년 11월 15일 (화) 03:47 판
이 항목의 수학노트 원문주소
개요
항등식의 분류
켤레 베일리 쌍의 유도
- q-가우스 합 에서 얻어진 다음 결과를 이용
\(\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}\), \(\gamma_n=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}\)
\(\gamma_{n}=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{\delta_{n+r}}{(x)_{r+2n}(q)_{r}}\) - 다음의 특수한 경우
\(x=q^2, y\to\infty, z\to\infty\). -
얻어진 켤레 베일리 쌍
\(\delta_n=q^{n^2+n}\)
\(\gamma_n=\frac{(1-q)}{(q)_{\infty}}q^{n^2-n}\)
베일리 쌍의 유도
-
다음을 이용 [Slater51] (4.2) - \(\sum_{r=-[n/2]}^{r=[n/2]}\frac{(1-aq^{4r})(q^{-n})_{2r}a^{2r}q^{2nr+r}(d)_{q^2,r}(e)_{q^2,r}}{(1-a)(aq^{n+1})_{2r}d^re^r(aq^2/d)_{q^2,r}(aq^2/e)_{q^2,r}}=\frac{(q^2/a,aq/d,aq/e,aq^2/de;q^2)_{\infty}}{(q,q^2/d,q^2/e,a^2q/de;q^2)_{\infty}}\frac{(q)_{n}(aq)_{n}(a^2/de)_{q^2,n}}{(aq)_{q^2,n}(aq/d)_{n}(aq/e)_{n}}\)
- 다음의 특수한 경우
\(a=q,d\to\infty,e\to\infty\) - 얻어진 베일리 쌍
\(\alpha_{0}=1\), \(\alpha_{n}=(-1)^{n}q^{n^2}(1-q^{2n+1})/(1-q)\)
\(\beta_n=\sum_{r=0}^{n}\frac{\alpha_r}{(x)_{n-r}(q)_{n+r}}=\sum_{r=0}^{n}\frac{\alpha_r}{(q^{2})_{n-r}(q)_{n+r}}=\frac{(-1)^n}{(q^2;q^2)_{n}}\)