"'142857의 신비' 해설"의 두 판 사이의 차이

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(피타고라스님이 이 페이지를 개설하였습니다.)
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
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* 인터넷에 떠돌아다니고 있는 ‘[http://bomber0.byus.net/index.php/2008/09/01/724 142857의 신비]‘에 대한 이해
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<h5>나눗셈과정과 표만들기</h5>
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* <math>1/7=0.142857142857\cdots</math>를 얻는 나누기 과정
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1    3    2    6    4    5 …<br> ↓ / ↓ / ↓ / ↓ / ↓ / ↓ / ↓<br>'''1   4   2   8   5   7 …'''
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다시 한번 강조하지만 위의 표의 사용방법은 [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/09/04/729 지난 글]에 설명되어 있으니, 반드시 숙지하시라. 요약해서 말하자면, 표에 나온 화살표 따라가기다. 이제 시작한다. 짬날때, 표를 따라가며 직접 해보면, 분명히 즐거운 시간이 될 것이라 생각해 본다.
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<h5>142857과 곱하기</h5>
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142857에 1부터 6까지 차례로 곱해볼까요?<br> 142857 X 1 = 142857<br> 142857 X 2 = 285714<br> 142857 X 3 = 428571<br> 142857 X 4 = 571428<br> 142857 X 5 = 714285<br> 142857 X 6 = 857142
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그러면 142857 에 7을 곱하면 얼마일까요? 답은 놀랍게도 999999 입니다.
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'''[해설]'''<br><math> 142857 = \frac{1 \times 10^6}{7} - \frac{1}{7} = 142857</math><br><math> 142857 \times 2 = \frac{2 \times 10^6}{7} - \frac{2}{7} = 285714</math><br><math> 142857 \times 3 = \frac{3 \times 10^6}{7} - \frac{3}{7} = 428571</math><br><math> 142857 \times 4 = \frac{4 \times 10^6}{7} - \frac{4}{7} = 571428</math><br><math> 142857 \times 5 = \frac{5 \times 10^6}{7} - \frac{5}{7} = 714285</math><br><math> 142857 \times 6 = \frac{6 \times 10^6}{7} - \frac{6}{7} = 857142</math><br><math> 142857 \times 7 = \frac{7 \times 10^6}{7} - \frac{7}{7} = 1000000 - 1 = 999999</math>
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<h5>142857과 더하기</h5>
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게다가 142 + 857 = 999 이고
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14 + 28 + 57 = 99 입니다.
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'''[해설]'''<br><math>142 = \frac{1 \times 10^3}{7} - \frac{6}{7}</math><br><math>857 = \frac{6 \times 10^3}{7} - \frac{1}{7}</math><br><math>142 + 857 = 1000 - 1 = 999</math><br><math>14 = \frac{1 \times 10^2}{7} - \frac{2}{7}</math><br><math>28 = \frac{2 \times 10^2}{7} - \frac{4}{7}</math><br><math>57 = \frac{4 \times 10^2}{7} - \frac{1}{7}</math><br><math>14 +28 + 57 = 100 - 1 = 99</math>
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<h5>142857의 제곱</h5>
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142857 을 제곱하면 얼마가 될까요?
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'''[해설]'''<br><math>142857^2 = (\frac{1 \times 10^6}{7} - \frac{1}{7})^2 = \frac{1 \times 10^{12}}{49} - \frac{2 \times 10^6}{49} + \frac{1}{49}</math>
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이 단계에서는 이제 7이 아닌 49를 다루기 위한 표가 필요하다.
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1 ÷ 49 = 0.'''020408'''163265306122448979591836734693877551'''020408'''16…
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이제 7에서와 같은 방법으로 다음 표를 만든다. 이제 화살표는 생략.
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| 1
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| 8
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| 31
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| 13
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| 26
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| 15
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| 3
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| 30
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|-
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| 0
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| 8
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| 1
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| 6
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| 3
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|}
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표는 오른쪽으로 계속되지만 이 정도면 목적을 달성하기에 충분하다. 이제 이 표를 활용하면,
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<math>\frac{1 \times 10^{12}}{49} = 020408163265 +\frac{15}{49}</math>
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<math>\frac{2 \times 10^6}{49} = 040816 +\frac{16}{49}</math>
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<math>\frac{1}{49}= 0 + \frac{1}{49}</math>
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따라서
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<math>142857^2 = \frac{1 \times 10^{12}}{49} - \frac{2 \times 10^6}{49}+\frac{1}{49} = 20408163265 - 40816 + \frac{15}{49} - \frac{16}{49} +\frac{1}{49}</math>
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<math>= 20408122449</math>
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이제 모든 준비가 끝났다.
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142857 을 제곱하면 20408122449 라는 수가 나오는데<br> 20408 + 122449 = 142857 이 된답니다.
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'''[해설]'''<br> 위에서 20408122449는 아래와 같은 과정을 거쳐서 얻어졌다.<br> 20408 + 122449 = 20408 + 163265 – 40816
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'''20408, 163265, 40816 은 모두 위의 표에서 아래줄에 있는 숫자들을 연달아 써놓은 녀석들이 아니던가, 그렇다면 표를 통해서 49의 분수로 손쉽게 표현할 수 있다.'''
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그러므로,
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<math>20408 = \frac{10 \times 10^5}{49} -\frac{8}{49}</math>
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<math>163265 = \frac{80 \times 10^5}{49} -\frac{15}{49}</math>
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<math>40816 = \frac{20 \times 10^5}{49} -\frac{16}{49}</math>
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<math>20408 + 163265 - 40816 = \frac{(10+80-20) \times 10^5}{49} -\frac{(8+15-16)}{49}= \frac{70 \times 10^5}{49}-\frac{7}{49}</math>
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</blockquote>
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정리하면,
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<math>20408 + 122449 = \frac{10^6}{7}-\frac{1}{7}</math>
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이 녀석은 이제는 너무나 익숙해져버린 142857 이 아니던가. 이제 신비는 모두 파헤쳐졌고, 더 이상 신비는 없다.
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<h5>재미있는 사실</h5>
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* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
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<h5>역사</h5>
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
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<h5>메모</h5>
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<h5>관련된 항목들</h5>
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* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
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** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
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* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
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<h5>사전 형태의 자료</h5>
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
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** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
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<h5>관련논문</h5>
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
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* http://dx.doi.org/
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<h5>관련도서 및 추천도서</h5>
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*  도서내검색<br>
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** http://books.google.com/books?q=
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** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
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*  도서검색<br>
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** http://books.google.com/books?q=
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
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<h5>관련기사</h5>
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*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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<h5>블로그</h5>
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* [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/09/04/730 142857와 군론의 만남(3) : 142857의 신비, 완벽해설!]<br>
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** 피타고라스의 창, 2008-9-4
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*  구글 블로그 검색<br>
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** http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
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* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]
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* [http://math.dongascience.com/ 수학동아]
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* [http://www.ams.org/mathmoments/ Mathematical Moments from the AMS]
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* [http://betterexplained.com/ BetterExplained]

2009년 12월 26일 (토) 08:30 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

 

 

나눗셈과정과 표만들기
  • \(1/7=0.142857142857\cdots\)를 얻는 나누기 과정


 

1    3    2    6    4    5 …
↓ / ↓ / ↓ / ↓ / ↓ / ↓ / ↓
1   4   2   8   5   7 …

 

 

다시 한번 강조하지만 위의 표의 사용방법은 지난 글에 설명되어 있으니, 반드시 숙지하시라. 요약해서 말하자면, 표에 나온 화살표 따라가기다. 이제 시작한다. 짬날때, 표를 따라가며 직접 해보면, 분명히 즐거운 시간이 될 것이라 생각해 본다.

 

 

142857과 곱하기

142857에 1부터 6까지 차례로 곱해볼까요?
142857 X 1 = 142857
142857 X 2 = 285714
142857 X 3 = 428571
142857 X 4 = 571428
142857 X 5 = 714285
142857 X 6 = 857142

그러면 142857 에 7을 곱하면 얼마일까요? 답은 놀랍게도 999999 입니다.

 

 

 

[해설]
\( 142857 = \frac{1 \times 10^6}{7} - \frac{1}{7} = 142857\)
\( 142857 \times 2 = \frac{2 \times 10^6}{7} - \frac{2}{7} = 285714\)
\( 142857 \times 3 = \frac{3 \times 10^6}{7} - \frac{3}{7} = 428571\)
\( 142857 \times 4 = \frac{4 \times 10^6}{7} - \frac{4}{7} = 571428\)
\( 142857 \times 5 = \frac{5 \times 10^6}{7} - \frac{5}{7} = 714285\)
\( 142857 \times 6 = \frac{6 \times 10^6}{7} - \frac{6}{7} = 857142\)
\( 142857 \times 7 = \frac{7 \times 10^6}{7} - \frac{7}{7} = 1000000 - 1 = 999999\)

 

 

 

 

142857과 더하기

 

 

게다가 142 + 857 = 999 이고

14 + 28 + 57 = 99 입니다.

 

[해설]
\(142 = \frac{1 \times 10^3}{7} - \frac{6}{7}\)
\(857 = \frac{6 \times 10^3}{7} - \frac{1}{7}\)
\(142 + 857 = 1000 - 1 = 999\)
\(14 = \frac{1 \times 10^2}{7} - \frac{2}{7}\)
\(28 = \frac{2 \times 10^2}{7} - \frac{4}{7}\)
\(57 = \frac{4 \times 10^2}{7} - \frac{1}{7}\)
\(14 +28 + 57 = 100 - 1 = 99\)

 

 

142857의 제곱

142857 을 제곱하면 얼마가 될까요?

 

[해설]
\(142857^2 = (\frac{1 \times 10^6}{7} - \frac{1}{7})^2 = \frac{1 \times 10^{12}}{49} - \frac{2 \times 10^6}{49} + \frac{1}{49}\)

 

이 단계에서는 이제 7이 아닌 49를 다루기 위한 표가 필요하다.

 

1 ÷ 49 = 0.02040816326530612244897959183673469387755102040816…

 

이제 7에서와 같은 방법으로 다음 표를 만든다. 이제 화살표는 생략.

 

1 10 2 20 4 40 8 31 16 13 32 26 15 3 30
0 2 0 4 0 8 1 6 3 2 6 5 3 0 6

 

표는 오른쪽으로 계속되지만 이 정도면 목적을 달성하기에 충분하다. 이제 이 표를 활용하면,

 

\(\frac{1 \times 10^{12}}{49} = 020408163265 +\frac{15}{49}\)

\(\frac{2 \times 10^6}{49} = 040816 +\frac{16}{49}\)

\(\frac{1}{49}= 0 + \frac{1}{49}\)

 

따라서

 

\(142857^2 = \frac{1 \times 10^{12}}{49} - \frac{2 \times 10^6}{49}+\frac{1}{49} = 20408163265 - 40816 + \frac{15}{49} - \frac{16}{49} +\frac{1}{49}\)

\(= 20408122449\)

 

이제 모든 준비가 끝났다.

 

142857 을 제곱하면 20408122449 라는 수가 나오는데
20408 + 122449 = 142857 이 된답니다.

 

[해설]
위에서 20408122449는 아래와 같은 과정을 거쳐서 얻어졌다.
20408 + 122449 = 20408 + 163265 – 40816

 

20408, 163265, 40816 은 모두 위의 표에서 아래줄에 있는 숫자들을 연달아 써놓은 녀석들이 아니던가, 그렇다면 표를 통해서 49의 분수로 손쉽게 표현할 수 있다.

 

그러므로,

 

\(20408 = \frac{10 \times 10^5}{49} -\frac{8}{49}\)

\(163265 = \frac{80 \times 10^5}{49} -\frac{15}{49}\)

\(40816 = \frac{20 \times 10^5}{49} -\frac{16}{49}\)

\(20408 + 163265 - 40816 = \frac{(10+80-20) \times 10^5}{49} -\frac{(8+15-16)}{49}= \frac{70 \times 10^5}{49}-\frac{7}{49}\)

 

정리하면,

 

\(20408 + 122449 = \frac{10^6}{7}-\frac{1}{7}\)

 

이 녀석은 이제는 너무나 익숙해져버린 142857 이 아니던가. 이제 신비는 모두 파헤쳐졌고, 더 이상 신비는 없다.

 

재미있는 사실

 

 

 

역사

 

 

메모

 

 

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