"극좌표계"의 두 판 사이의 차이
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<math>ds^2= dr^2 +r^2 d \theta\ ^2</math> | <math>ds^2= dr^2 +r^2 d \theta\ ^2</math> | ||
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<math> dA = dxdy = rdrd\theta</math> | <math> dA = dxdy = rdrd\theta</math> | ||
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<h5>라플라시안</h5> | <h5>라플라시안</h5> | ||
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| + | * [[라플라시안(Laplacian)]]<br><math>\Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}={1 \over r} {\partial f \over \partial r}+ {\partial^2 f \over \partial r^2}+{1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}</math><br> | ||
* [http://banach.millersville.edu/%7Ebob/math467/Laplacian.pdf http://banach.millersville.edu/~bob/math467/Laplacian.pdf]<br> | * [http://banach.millersville.edu/%7Ebob/math467/Laplacian.pdf http://banach.millersville.edu/~bob/math467/Laplacian.pdf]<br> | ||
* http://caicedoteaching.wordpress.com/2008/10/07/275-the-laplacian-in-polar-coordinates/<br> | * http://caicedoteaching.wordpress.com/2008/10/07/275-the-laplacian-in-polar-coordinates/<br> | ||
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | ||
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2012년 8월 15일 (수) 15:20 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
극선을 x 축의 양의 방향으로 했을 때
\(x = r \cos \theta\)
\(y = r \sin \theta\)
좌표계의 변환
\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)
\(\theta=\arctan{\frac{y}{x}}\)
여기서 \(\arctan{x}\) 는 \(\tan{x}\) 의 역함수.
길이소
\(ds^2= dr^2 +r^2 d \theta\ ^2\)
넓이소
\( dA = dxdy = rdrd\theta\)
1. 그림으로 이해하기
[/pages/4594197/attachments/2515177 cartesian.jpg] [/pages/4594197/attachments/2515179 polar_copy.jpg]
큰 그림은 여기서 보자.
그림에서 근사 기호가 아니라 등호가 사용된 데에 대해 의문을 가질 수도 있겠다. 하지만, 간격 \(dr\), \(d\theta\) 가 굉장히 작아지면 이 오차는 의미가 없게 된다.
2. 야코비안
\(J = \det\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} =\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix} =r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r\)
\(dA=J \,dr \,d\theta = r\,dr\,d\theta\)
라플라시안
- 라플라시안(Laplacian)
\(\Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}={1 \over r} {\partial f \over \partial r}+ {\partial^2 f \over \partial r^2}+{1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}\)
- http://banach.millersville.edu/~bob/math467/Laplacian.pdf
- http://caicedoteaching.wordpress.com/2008/10/07/275-the-laplacian-in-polar-coordinates/
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences