"단진자의 주기와 타원적분"의 두 판 사이의 차이
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<math>T = 4\sqrt{\ell\over {2g}}\int^{\theta_0}_0 {1\over\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}\,d\theta</math> | <math>T = 4\sqrt{\ell\over {2g}}\int^{\theta_0}_0 {1\over\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}\,d\theta</math> | ||
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2010년 4월 30일 (금) 16:24 판
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개요
- 단진자의 운동을 기술하는 미분방정식은 다음과 같이 주어짐
\({d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell} \sin\theta=0 \) - 보통의 경우, \(\theta\)가 0에 매우 가깝다고 가정하고, \(\sin\theta\approx \theta\)의 근사식을 이용하여 다음과 같은 미분방정식을 생각함
\(d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell}\theta=0\) - 하지만 이러한 근사를 사용하지 않고 주기를 구하기 위해서는, 타원적분이 필요
단진자의 주기
- 단진자의 주기는 다음과 같다
\(T = 4\sqrt{\ell\over {g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin\phi}}\,d\phi\) (여기서 \(k=\frac{A}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos\theta_0}{2}}=\sin\frac{\theta_0}{2}\))
(증명)
진자의 속도는 \({d\theta\over dt} = \sqrt{{2g\over \ell}\left(\cos\theta-\cos\theta_0\right)}\) 로 주어진다. 따라서 주기를 다음과 같이 쓸 수 있다.
\(T = 4\sqrt{\ell\over {2g}}\int^{\theta_0}_0 {1\over\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}\,d\theta\)
여기서 다음과 같은 치환을 사용하자.
\(A=\sqrt{1-\cos\theta_0}\)
\(\cos\theta-\cos\theta_0=(A\cos\phi)^2\)
그러면,
\(\cos\theta=1-A^2\sin^2\phi\)
\(\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=A\sin\phi\sqrt{2-A^2\sin\phi}\)
\(\sin\theta \,d\theta=2A^2\cos\phi\sin\phi\)
\(T = 4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2A^2\cos\phi\sin\phi}{A\cos\phi\sin\theta}\,d\phi=4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2A\sin\phi}{A\sin\phi\sqrt{2-A^2\sin\phi}}\,d\phi=4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{\sqrt{2-A^2\sin\phi}}\,d\phi\)
\(A=\sqrt{2}k\)로 두면,
\(T = 4\sqrt{\ell\over {g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin\phi}}\,d\phi\) (여기서 \(k=\frac{A}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos\theta_0}{2}}=\sin\frac{\theta_0}{2}\))
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- http://ko.wikipedia.org/wiki/단진자
- http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum_(mathematics)
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
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