등시강하곡선 문제 (Tautochrone problem)

 

 

개요

• 중력을 받고 있는 물체가 출발점에 관계없이 주어진 목적지에 똑같은 시간에 도달하기 위해서 따라야 하는 곡선
• 1659년 호이겐스에 의해 해결
• 진자 시계를 만드는데 활용되었다 [1]http://hom.wikidot.com/the-cycloid

 

 

 

등시성의 증명

[/pages/4402517/attachments/2339131 Tautochrone_curve(1).gif]

(정리) 사이클로이드를 따라 움직이는 추의 주기는 시작점의 위치에 관계없이 다음으로 주어진다.

\(T =2\pi\sqrt{\frac{r}{g}}\)

(이 때, 사이클로이드의 방정식은 \(x = r(\theta - \sin \theta)\), \(y = -r(1 - \cos \theta)\)로 주어졌다고 하자.)

(증명)

높이가 y_0인 곳에서 출발할때, 추의 속도는 \(v=\sqrt{2g(y_0-y)}= \sqrt{2rg(\cos\theta_0-\cos\theta)}\) 로 주어진다. 따라서 주기를 다음과 같이 쓸 수 있다.

\(T =\int \frac{ds}{v}=2\int_{\theta_0}^{\pi} \frac{\sqrt{2r^2(1-\cos\theta)}}{\sqrt{2rg(\cos\theta_0-\cos\theta)}}\,d\theta=2\sqrt{\frac{r}{g}}\int_{\theta_0}^{\pi} \frac{\sqrt{1-\cos\theta}}{\sqrt{\cos\theta_0-\cos\theta}}\,d\theta\)

반각공식을 이용하여, 우변을

\(2\sqrt{\frac{r}{g}}\int_{\theta_0}^{\pi}\frac{\sin(\frac{1}{2}\theta)}{\sqrt{\cos^2(\frac{1}{2}\theta_0)-\cos^2(\frac{1}{2}\theta)}}d\theta \) 로 쓸 수 있다.

\(u=\frac{\cos \frac{1}{2}\theta}{\cos \frac{1}{2}\theta_0}\)로 치환하면, \(du=\frac{-\sin \frac{1}{2}\theta}{2\cos \frac{1}{2}\theta_0}\,d\theta\) 를 얻는다.

따라서

\(T =4\sqrt{\frac{r}{g}}\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\,du=2\pi\sqrt{\frac{r}{g}}\)■

 

 

 

관련동영상

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• 등시강하 동영상 <a href="http://www.youtube.com/watch?v=FAYWccuLVvY#t=1m15s">http://www.youtube.com/watch?v=FAYWccuLVvY#t=1m15s</a>

 

 

 

재미있는 사실

 

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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역사

 

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• 수학사연표
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관련된 항목들

• 단진자의 주기와 타원적분

 

 

수학용어번역

• Tautochrone problem
  
  • 등시강하곡선 문제

• 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 발음사전 http://www.forvo.com/search/
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.proofwiki.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

 

관련논문

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/

 

 

관련도서

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관련기사

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