"라그랑지의 네 제곱수 정리"의 두 판 사이의 차이

2009년 11월 5일 (목) 06:44 판

자코비 세타함수
[[자코비 세타함수|]]\(\theta(\tau)=\theta_3(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2\tau}\), \(q=e^{2\pi i \tau}\)
\(x=e^{\pi i \tau}\) 로 두면,
\(\theta(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}=1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2}\)
\(\theta^4(x)=(\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)x^n\)
여기서 \(r_4(n)\) 는 \(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=n\)의 정수해 \((x_1,x_2,x_3,x_4)\)의 개수, 즉 자연수 \(n\)을 네 정수의 제곱의 합으로 쓰는 방법의 수
\(r_4(1)=8\)
\((\pm1)^2+0^2+0^2+0^2=1\)
\(0^2+(\pm1)^2+0^2+0^2=1\)
\(0^2+0^2+(\pm1)^2+0^2=1\)
\(0^2+0^2+0^2+(\pm1)^2=1\)
\(r_4(2)=24\)
\((\pm1)^2+(\pm1)^2+0^2+0^2=1\)
... 으로부터
\(4\times {4\choose 2}=24\)
\(r_4(3)=32\)
\((\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2+0^2=1\)

... 으로부터
\(8\times {4\choose 1}=32\)
(정리) 자코비의 네제곱수 정리
\(r_4(n)=8\sum_{m|n,4\nmid m}m\)

@@ 27번째 줄: / 27번째 줄: @@
 * <math>r_4(1)=8</math><br><math>(\pm1)^2+0^2+0^2+0^2=1</math><br><math>0^2+(\pm1)^2+0^2+0^2=1</math><br><math>0^2+0^2+(\pm1)^2+0^2=1</math><br><math>0^2+0^2+0^2+(\pm1)^2=1</math><br>
 * <math>r_4(2)=24</math><br><math>(\pm1)^2+(\pm1)^2+0^2+0^2=1</math><br> ... 으로부터<br><math>4\times {4\choose 2}=24</math><br>
-* <math>r_4(2)=24</math><br>
+* <math>r_4(3)=32</math><br><math>(\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2+0^2=1</math><br>  <br> ... 으로부터<br><math>8\times {4\choose 1}=32</math><br>
-*  (정리) 자코비의 네제곱수 정리<br><math>r_4(n)=8\sum_{m|n,4\nmid m}m</math><br>
+*  (정리) [[search?q=%EC%9E%90%EC%BD%94%EB%B9%84%EC%9D%98%20%EB%84%A4%EC%A0%9C%EA%B3%B1%EC%88%98%20%EC%A0%95%EB%A6%AC&parent id=3188640|자코비의 네제곱수 정리]]<br><math>r_4(n)=8\sum_{m|n,4\nmid m}m</math><br>