"란덴변환(Landen's transformation)"의 두 판 사이의 차이

2009년 3월 28일 (토) 12:20 판

타원적분
\(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}\)
만족시키는 다음 변환 공식을 란덴 변환이라 함.

\(K(\frac{2\sqrt{x}}{1+x})=(1+x)K(x)\)

hypergeometric 급수와 타원 적분
\(F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k\) 로 정의하면, \(K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)\)
란덴변환은 다음과 같이 표현됨.
\(F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)\)

Gauss, Landen, Ramanujan, the Arithmetic-Geometric Mean, Ellipses, π, and the Ladies Diary
- Gert Almkvist and Bruce Berndt
- The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 7 (Aug. - Sep., 1988), pp. 585-608

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 <math>K(\frac{2\sqrt{x}}{1+x})=(1+x)K(x)</math>
-*  hypergeometric 급수와 타원 적분<br>
+*  hypergeometric 급수와 타원 적분<br><math>F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k</math> 로 정의하면, <math>K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)</math><br>
-** <math>F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k</math> 로 정의하면, <math>K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)</math>
+*  란덴변환은 다음과 같이 표현됨.<br><math>F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)</math><br>
-*  란덴변환은 다음과 같이 표현됨.<br>
-** <math>F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)</math>
-* [/pages/2998854/attachments/1341664 Landen.jpg]<br>  <br>
+<h5>란덴변환과 AGM</h5>