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* [[타원적분(통합됨)|타원적분]]<br><math>K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}</math><br> | * [[타원적분(통합됨)|타원적분]]<br><math>K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}</math><br> | ||
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* hypergeometric 급수와 타원 적분<br><math>F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k</math> 로 정의하면, <math>K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)</math><br> | * hypergeometric 급수와 타원 적분<br><math>F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k</math> 로 정의하면, <math>K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)</math><br> | ||
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* 이 경우, 란덴변환은 다음과 같이 표현됨.<br><math>F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)</math><br> | * 이 경우, 란덴변환은 다음과 같이 표현됨.<br><math>F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)</math><br> | ||
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* [[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산|파이값의 계산]] | * [[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산|파이값의 계산]] | ||
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* [http://www.amazon.com/PI-AGM-Analytic-Computational-Complexity/dp/047131515X Pi and the AGM]<br> | * [http://www.amazon.com/PI-AGM-Analytic-Computational-Complexity/dp/047131515X Pi and the AGM]<br> | ||
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− | <h5>위키링크</h5> | + | <h5>위키링크<sup class="tocAnchorContainer">[[#toc 8|#]]</sup></h5> |
* http://en.wikipedia.org/wiki/Landen%27s_transformation | * http://en.wikipedia.org/wiki/Landen%27s_transformation | ||
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* [http://www.jstor.org/stable/2323302 Gauss, Landen, Ramanujan, the Arithmetic-Geometric Mean, Ellipses, π, and the Ladies Diary]<br> | * [http://www.jstor.org/stable/2323302 Gauss, Landen, Ramanujan, the Arithmetic-Geometric Mean, Ellipses, π, and the Ladies Diary]<br> | ||
** Gert Almkvist and Bruce Berndt | ** Gert Almkvist and Bruce Berndt | ||
** <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 95, No. 7 (Aug. - Sep., 1988), pp. 585-608 | ** <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 95, No. 7 (Aug. - Sep., 1988), pp. 585-608 |
2009년 7월 2일 (목) 13:49 판
목차----
버전1#
- 타원적분
\(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}\) - 다음 변환 공식을 타원적분에 대한 란덴 변환이라 함.
\(K(\frac{2\sqrt{x}}{1+x})=(1+x)K(x)\)
버전2#
- 타원적분
\(I(a,b) = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d \theta\)
- 다음 변환에 의하여, 그 값이 변하지 않는다.
\((a,b) \mapsto (\frac{a+b}{2}, \sqrt {ab})\)
버전3#
- hypergeometric 급수와 타원 적분
\(F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k\) 로 정의하면, \(K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)\) - 이 경우, 란덴변환은 다음과 같이 표현됨.
\(F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)\) - 초기하급수(Hypergeometric series) 항목 참조
란덴변환과 AGM#
란덴변환을 통해, 타원적분과 AGM의 다음과 같은 관계가 유도 가능
\(K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}\)
(증명)
란덴변환을 무한히 반복하면,
\(I(a,b)=\int _0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d\theta = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\operatorname{AGM}(a,b)} \, d\theta = \frac{\pi}{2 \,\operatorname{AGM}(a,b)}\)
\(b^2 = a^2 (1 - k^2)\) 로 두면,
\(I(a,b)=\frac{1}{a} \int _0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2(\theta)}} \, d\theta = \frac{1}{a} F\left( \frac{\pi}{2},k\right) = \frac{1}{a} K(k)\)
\(a=1, b=\sqrt{1-k^2}\) 이면
\(K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}\)
관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들#
관련된 대학원 과목#
관련된 다른 주제들#
표준적인 도서 및 추천도서#
- Pi and the AGM
- Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein
- http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
위키링크#
참고할만한 자료#
- Gauss, Landen, Ramanujan, the Arithmetic-Geometric Mean, Ellipses, π, and the Ladies Diary
- Gert Almkvist and Bruce Berndt
- The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 7 (Aug. - Sep., 1988), pp. 585-608