란덴변환(Landen's transformation)

목차----

1. 버전1
2. 버전2
3. 버전3
4. 란덴변환과 AGM
5. 관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들
6. 관련된 대학원 과목
7. 관련된 다른 주제들
8. 표준적인 도서 및 추천도서
9. 위키링크
10. 참고할만한 자료

 

 

버전1^#

•  타원적분
  \(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}\)
  
• 다음 변환 공식을 타원적분에 대한 란덴 변환이라 함.

\(K(\frac{2\sqrt{x}}{1+x})=(1+x)K(x)\)

 

버전2^#

• 타원적분

 

\(I(a,b) = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d \theta\)

• 다음 변환에 의하여, 그 값이 변하지 않는다.

\((a,b) \mapsto (\frac{a+b}{2}, \sqrt {ab})\)

 

버전3^#

• hypergeometric 급수와 타원 적분
  \(F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k\) 로 정의하면, \(K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)\)
  
• 이 경우, 란덴변환은 다음과 같이 표현됨.
  \(F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)\)
  
• 초기하급수(Hypergeometric series) 항목 참조
  

 

 

란덴변환과 AGM^#

란덴변환을 통해, 타원적분과 AGM의 다음과 같은 관계가 유도 가능

\(K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}\)

(증명)

란덴변환을 무한히 반복하면,

\(I(a,b)=\int _0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d\theta = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\operatorname{AGM}(a,b)} \, d\theta = \frac{\pi}{2 \,\operatorname{AGM}(a,b)}\)

\(b^2 = a^2 (1 - k^2)\) 로 두면,

\(I(a,b)=\frac{1}{a} \int _0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2(\theta)}} \, d\theta = \frac{1}{a} F\left( \frac{\pi}{2},k\right) = \frac{1}{a} K(k)\)

\(a=1, b=\sqrt{1-k^2}\) 이면
\(K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}\)

 

 

 

 

 

 

관련된 다른 주제들^#

• 파이값의 계산
• lemniscate 적분

 

표준적인 도서 및 추천도서^#

• Pi and the AGM
  
  • Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein
• http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=

 

위키링크^#

• http://en.wikipedia.org/wiki/Landen%27s_transformation

 

 

참고할만한 자료^#

• Gauss, Landen, Ramanujan, the Arithmetic-Geometric Mean, Ellipses, π, and the Ladies Diary
  
  • Gert Almkvist and Bruce Berndt
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 7 (Aug. - Sep., 1988), pp. 585-608
• A simple example of a new class of Landen transformations
  
  • D Manna, VH Moll
  • American Mathematical Monthly, 2007