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* 다음 변환 공식을 타원적분에 대한 란덴 변환이라 함.
 
* 다음 변환 공식을 타원적분에 대한 란덴 변환이라 함.
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*  hypergeometric 급수와 타원 적분<br><math>F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k</math> 로 정의하면, <math>K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)</math><br>
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*  hypergeometric 급수와 타원 적분:<math>F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k</math> 로 정의하면, <math>K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)</math><br>
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*  이 경우, 란덴변환은 다음과 같이 표현됨.<br><math>F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)</math><br>
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*  이 경우, 란덴변환은 다음과 같이 표현됨.:<math>F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)</math><br>
 
* [[초기하급수(Hypergeometric series)]] 항목 참조<br>
 
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란덴변환을 무한히 반복하면,
 
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<math>I(a,b)=\int _0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d\theta = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\operatorname{AGM}(a,b)} \, d\theta = \frac{\pi}{2 \,\operatorname{AGM}(a,b)}</math><br><br><math>b^2 = a^2 (1 - k^2)</math> 로 두면,
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<math>I(a,b)=\int _0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d\theta = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\operatorname{AGM}(a,b)} \, d\theta = \frac{\pi}{2 \,\operatorname{AGM}(a,b)}</math><br>:<math>b^2 = a^2 (1 - k^2)</math> 로 두면,
  
 
<math>I(a,b)=\frac{1}{a} \int _0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2(\theta)}} \, d\theta = \frac{1}{a} F\left( \frac{\pi}{2},k\right) = \frac{1}{a} K(k)</math>
 
<math>I(a,b)=\frac{1}{a} \int _0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2(\theta)}} \, d\theta = \frac{1}{a} F\left( \frac{\pi}{2},k\right) = \frac{1}{a} K(k)</math>
  
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<math>a=1, b=\sqrt{1-k^2}</math> 이면<br><math>K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}</math>
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<math>a=1, b=\sqrt{1-k^2}</math> 이면:<math>K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}</math>
  
 
 
 
 

2013년 1월 12일 (토) 09:30 판

버전1

  • 다음 변환 공식을 타원적분에 대한 란덴 변환이라 함.

\(K(\frac{2\sqrt{x}}{1+x})=(1+x)K(x)\)

 

 

버전2

  • 타원적분

\(I(a,b) = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d \theta\)

  • 다음 변환에 의하여, 그 값이 변하지 않는다.

\((a,b) \mapsto (\frac{a+b}{2}, \sqrt {ab})\)

 

버전3

  • hypergeometric 급수와 타원 적분\[F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k\] 로 정의하면, \(K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)\)
  • 이 경우, 란덴변환은 다음과 같이 표현됨.\[F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)\]
  • 초기하급수(Hypergeometric series) 항목 참조

 

 

란덴변환과 AGM

란덴변환을 통해, 타원적분과 AGM의 다음과 같은 관계가 유도 가능

\(K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}\)

(증명)

란덴변환을 무한히 반복하면,

\(I(a,b)=\int _0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d\theta = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\operatorname{AGM}(a,b)} \, d\theta = \frac{\pi}{2 \,\operatorname{AGM}(a,b)}\)
\[b^2 = a^2 (1 - k^2)\] 로 두면,

\(I(a,b)=\frac{1}{a} \int _0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2(\theta)}} \, d\theta = \frac{1}{a} F\left( \frac{\pi}{2},k\right) = \frac{1}{a} K(k)\)

\(a=1, b=\sqrt{1-k^2}\) 이면\[K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}\]

 

 

관련된 다른 주제들

 

 

표준적인 도서 및 추천도서

 

사전 참고자료

 

 

참고할만한 자료

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