모듈라 형식(modular forms)

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• 모듈라 형식(modular forms)

 

 

개요

• 푸앵카레 상반평면에서 정의된 해석함수
• 모듈라 성질과 cusp에서의 푸리에전개를 가짐
• 별다른 언급이 없을 경우 \(q=e^{2\pi i\tau}\) 를 의미함

 

 

모듈라 성질

• weight 2k 인 모듈라 형식
• 모듈라 군(modular group)의 원소에 대하여 다음 조건을 만족시킴
  \(f \left( \frac{ a\tau +b}{ c\tau + d} \right) = (c\tau +d)^{2k} f(\tau)\)
   
  

 

 

푸리에 전개

• cusp에서도 해석함수의 성질을 갖도록 해주기 위한 조건
  \(f(\tau) = \sum_{n=0}^\infty a_n e^{2i\pi n\tau}\)
  

 

 

중요한 예

• even unimodular 격자의 세타함수
• 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)
• discriminant 함수

\(\Delta(\tau)=q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots\)

 

 

구조 정리

(정리)

\(\mathbb{C}[E_4,E_6]=\oplus M_k\)

\(\{E_6^2, \Delta\}\)는 weight 12인 모듈라 형식의 기저가 된다.

 

 

메모

\(d(\frac{az+b}{cz+d})=\frac{(acz+ad-acz-bc)}{(cz+d)^2}dz=(cz+d)^{-2}dz\)

 

 

 

하위페이지

• 모듈라 형식(modular forms)
  
  • 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)
    
  • 판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)
    

 

 

 

역사

• 수학사연표

 

 

관련된 항목들

• 자코비 세타함수
  
• 격자의 세타함수
  

 

 

수학용어번역

• http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://ko.wikipedia.org/wiki/보형형식
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

 

관련논문

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://dx.doi.org/

 

 

 

 

 

 

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