복소 이차 수체의 데데킨트 제타함수 special values

이 항목의 수학노트 원문주소

• 복소이차수체의 데데킨트 제테함수

 

 

==개요

 

 

 

\(s=1\) 에서의 값

• 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식
  
• 복소이차수체의 경우
  \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})\), \(q \geq 7\) , \(q \equiv 3 \pmod{4}\) 인 경우
  \(d_K=-q\)
  \(\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)\)
  \(\chi(-1)=-1\), \(\tau(\chi)=i\sqrt{q}\)
  \(L(1,\chi)= \frac{- \pi\sqrt{q}}{q^2}\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right) a=\frac{\pi h_K}{\sqrt{q}}\)
  \(h_K=-\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right)\frac{a}{q}\)
   
  \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})\)  , \(q \geq 5\) ,  \(q \equiv 1 \pmod{4}\) 인 경우
  \(d_K=-4q\)
  \(\chi(-1)=-1\), \(\tau(\chi)=2i\sqrt{q}\)
  \(L(1,\chi)= -\frac{ \pi\sqrt{q}}{8q^2}{\sum_{(a,4q)=1}\chi(a) a=\frac{\pi h_K}{2\sqrt{q}}\)
  \(h_K=-\frac{1}{4}\sum_{(a,4q)=1}\left(\frac{a}{q}\right)\frac{a}{q}\)
  

 

 

\(s=2\) 에서의 값

• 복소이차수체의 경우
  \(\zeta_{K}(2)=\frac{\pi^2}{6\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_k)=1} (\frac{d_K}{a})D(e^{2\pi ia/|d_k|})\)
  \(\zeta_{\mathbb{Q}\sqrt{-7}}(2)=\frac{\pi^2}{3\sqrt{7}}(D(e^{2\pi i/7})+D(e^{4\pi i/7})-D(e^{6\pi i/7}))\)
  여기서 \(D(z)\)는 블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)
  
• 예
  \(\zeta_{\mathbb{Q}\sqrt{-1}}(2)=1.50670301\)
  \(\zeta_{\mathbb{Q}\sqrt{-2}}(2)=1.75141751\cdots\)
  \(\zeta_{\mathbb{Q}\sqrt{-3}}(2)=\frac{\pi^2}{6\sqrt{3}}(D(e^{2\pi i/3})-D(e^{4\pi i/3}))=\frac{\pi^2}{3\sqrt{3}}D(e^{2\pi i/3})=1.285190955484149\cdots\)
  \(\zeta_{\mathbb{Q}\sqrt{-7}}(2)=\frac{\pi^2}{3\sqrt{7}}(D(e^{2\pi i/7})+D(e^{4\pi i/7})-D(e^{6\pi i/7}))=1.89484145\)
  \(\zeta_{\mathbb{Q}\sqrt{-11}}(2)=1.49613186\)
  

 

• http://books.google.co.kr/books?id=yrmT56mpw3kC&pg=PA367&dq=smallest+norms+of+prime+ideals&hl=ko&ei=IMRTTIaRGoqWvAP88MUZ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=4&ved=0CDgQ6AEwAw#v=onepage&q=smallest%20norms%20of%20prime%20ideals&f=false
  

 

 

 

figure eight knot complement

\(V=\frac{9\sqrt{3}}{\pi^2}\zeta_{\mathbb{Q}(\sqrt{-3})}(2)=3D(e^{\frac{2i\pi}{3}})=2D(e^{\frac{i\pi}{3}})=2.029883212819\cdots\)

\(\zeta_{\mathbb{Q}(\sqrt{-3})}(2)=\frac{\pi^2}{3\sqrt{3}}D(e^{\frac{2\pi i}{3}})\)

\(L_{-3}(2)=\frac{2}{\sqrt{3}}D(e^{\frac{2\pi i}{3}})\)

• 2.02988321281930725
  \(V(4_{1})=\frac{9\sqrt{3}}{\pi^2}\zeta_{\mathbb{Q}(\sqrt{-3})}(2)=3D(e^{\frac{2i\pi}{3}})=2D(e^{\frac{i\pi}{3}})=2.029883212819\cdots\)
  
• 매듭이론 (knot theory)
  

 

 

==역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표

 

 

==메모

• \(s=1\) 에서의 \(L_{d_K}'(1)\)의 값
  \(L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})\)
  
• L-함수의 미분 항목 참조
  

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

 

 

==관련된 항목들

 

 

수학용어번역

• 단어사전
  
  • http://translate.google.com/#en%7Cko%7C
  • http://ko.wiktionary.org/wiki/
• 발음사전 http://www.forvo.com/search/
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

==매스매티카 파일 및 계산 리소스

•  
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://functions.wolfram.com/
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Numbers, constants and computation
• 매스매티카 파일 목록

 

 

==사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• The Online Encyclopaedia of Mathematics
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The World of Mathematical Equations

 

 

==리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

 

==관련논문

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/

 

 

==관련도서

• 도서내검색
  
  • http://books.google.com/books?q=
  • http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=