슈바르츠-크리스토펠 사상(Schwarz-Christoffel mappings)

간단한 소개

• 복소해석학의 리만 사상 정리 에 의하면, 아래 그림과 같은 단위원과 별모양(pentagram) 사이에는 전단사 복소해석함수가 존재.

• Schwarz-Christoffel mappings 은 이러한 사상을 다음과 같이 구체적으로 표현할 수 있게 해주는 공식.

\(<br/>f(z) = \int_0^z \frac{(1-z^5)^{\frac{2}{5}}} {(1+z^5)^{\frac{4}{5}}} dz<br/>\)

 

국소적인 이해

• 우선 \(z^{\lambda}\) 형태의 복소함수에 대해서 이해할 필요가 있음
• \(\lambda > 0\) 인 경우에 대해서 먼저 생각
  \(z^{\lambda}=e^{\lambda \ln z}= e^{\lambda (\ln |z|+i\arg z)}} =\exp(\ln |z|^{\lambda}+\lambda i \arg z)\)
  
•  
• \(\lambda < 0\) 로 구