"슈바르츠-크리스토펠 사상(Schwarz-Christoffel mappings)"의 두 판 사이의 차이

2012년 7월 29일 (일) 12:48 판

슈바르츠-크리스토펠 사상 (Schwarz-Christoffel mappings) 은 이러한 사상을 다음과 같이 구체적으로 표현할 수 있게 해주는 공식.

\(f(z)=\int_0^z\frac{(1-z^5)^{\frac{2}{5}}}{(1+z^5)^{\frac{4}{5}}}dz\)

우선 \(z^{\lambda}\) 형태의 복소함수에 대해서 이해할 필요가 있음
\(\lambda > 0\) 인 경우에 대해서 먼저 생각해보자
\(z^{\lambda}=e^{\lambda \ln z}= e^{\lambda (\ln |z|+i\arg z)}} =\exp(\ln |z|^{\lambda}+\lambda i \arg z)\)
이 함수가 복소상반평면을 어떻게 변화시키는지 알아보기 위해 \(\arg z\)의 브랜치를 하나 고정하자
\(z\) 가 실수라고 하자.
- \(z>0\) 이면 \(\arg z =0\)
- \(z<0\) 이면 \(\arg z =\pi\)
상반평면이 \(z^{\lambda}\) 에 의해 각도가 \(\lambda \pi\)인 두 직선으로 쌓인 영역으로 변화
\(\lambda < 0\) 인 경우

타원적분
\(f(z)=\int_0^z\frac{dz}{\sqrt{(z+1)z(z-1)}}\)
이러한 타원적분으로 주어진 함수가 등각사상으로서 어떤 성질을 알기 위해 국소적으로 보자면,
\(z=-1\) 근방에서 \(f(z) \approx (z+1)^{\frac{1}{2}}\)
\(z=0\) 근방에서 \(f(z) \approx z^{\frac{1}{2}}\)
\(z=1\) 근방에서 \(f(z) \approx (z-1)^{\frac{1}{2}}\)

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 * 우선 <math>z^{\lambda}</math> 형태의 복소함수에 대해서 이해할 필요가 있음
 * <math>\lambda > 0</math> 인 경우에 대해서 먼저 생각해보자<br><math>z^{\lambda}=e^{\lambda \ln z}= e^{\lambda (\ln |z|+i\arg z)}} =\exp(\ln |z|^{\lambda}+\lambda i \arg z)</math><br>
-* 이 함수가 복소상반평면을 어떻게 변화시키는지 알아보기 위해 <math>\arg z</math>이 브랜치를 하나 고정하자
+* 이 함수가 복소상반평면을 어떻게 변화시키는지 알아보기 위해 <math>\arg z</math>의 브랜치를 하나 고정하자
 * <math>z</math> 가 실수라고 하자.<br>
 ** <math>z>0</math>  이면 <math>\arg z =0</math>