"슈바르츠-크리스토펠 사상(Schwarz-Christoffel mappings)"의 두 판 사이의 차이

2012년 7월 29일 (일) 13:32 판

복소상반평면을 다각형의 내부로 보내는 등각사상
다음과 같은 조건
- 실수축 위에 있는 \(\{a_k \in\mathbb{R}| k=1,\cdots, n\}\)가 n각형의 꼭지점
- 내각이 \(\{\alpha_k \pi| k=1,\cdots, n\}\) 로 주어진
\(f(z)=\alpha +\beta \underset{0}{\overset{z}{\int }}\prod _{k=1}^n \left(\zeta -z_k\right){}^{\alpha _k-1}d\zeta\)

복소해석학의 리만 사상 정리 Riemann mapping theorem 에 의하면, 아래 그림과 같은 단위원과 별모양(pentagram) 사이에는 전단사 복소해석함수가 존재.

슈바르츠-크리스토펠 사상 (Schwarz-Christoffel mappings) 은 이러한 사상을 다음과 같이 구체적으로 표현할 수 있게 해주는 공식.

\(f(z)=\int_0^z\frac{(1-\zeta^5)^{\frac{2}{5}}}{(1+\zeta^5)^{\frac{4}{5}}}\,d\zeta\)

\(\frac{f''(z)}{f'(z)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{-\mu_k}{z-a_k}\)

우선 \(z^{\lambda}\) 형태의 복소함수에 대해서 이해할 필요가 있음
\(\lambda > 0\) 인 경우에 대해서 먼저 생각해보자
\(z^{\lambda}=e^{\lambda \ln z}= e^{\lambda (\ln |z|+i\arg z)}} =\exp(\ln |z|^{\lambda}+\lambda i \arg z)\)
이 함수가 복소상반평면을 어떻게 변화시키는지 알아보기 위해 \(\arg z\)의 브랜치를 하나 고정하자
\(z\) 가 실수라고 하자.
- \(z>0\) 이면 \(\arg z =0\)
- \(z<0\) 이면 \(\arg z =\pi\)
상반평면이 \(z^{\lambda}\) 에 의해 각도가 \(\lambda \pi\)인 두 직선으로 쌓인 영역으로 변화
\(\lambda < 0\) 인 경우

타원적분
\(f(z)=\int_0^z\frac{dz}{\sqrt{(z+1)z(z-1)}}\)
이러한 타원적분으로 주어진 함수가 등각사상으로서 어떤 성질을 알기 위해 국소적으로 보자면,
\(z=-1\) 근방에서 \(f(z) \approx (z+1)^{\frac{1}{2}}\)
\(z=0\) 근방에서 \(f(z) \approx z^{\frac{1}{2}}\)
\(z=1\) 근방에서 \(f(z) \approx (z-1)^{\frac{1}{2}}\)

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 * 복소상반평면을 다각형의 내부로 보내는 등각사상
-* 내각이  n각형의 경우
+*  다음과 같은 조건<br>
+** 실수축 위에 있는 <math>\{a_k \in\mathbb{R}| k=1,\cdots, n\}</math>가 n각형의 꼭지점
+** 내각이 <math>\{\alpha_k \pi| k=1,\cdots, n\}</math> 로 주어진
+* <math>f(z)=\alpha +\beta \underset{0}{\overset{z}{\int }}\prod _{k=1}^n \left(\zeta -z_k\right){}^{\alpha _k-1}d\zeta</math><br>
-<math>f(z)=\alpha +\beta \underset{0}{\overset{z}{\int }}\prod _{k=1}^n \left(\zeta -z_k\right){}^{\alpha _k-1}d\zeta</math>
-<math>\alpha_k</math> : 다각형의
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 * 슈바르츠-크리스토펠 사상 (Schwarz-Christoffel mappings) 은 이러한 사상을 다음과 같이 구체적으로 표현할 수 있게 해주는 공식.
-<math>f(z)=\int_0^z\frac{(1-z^5)^{\frac{2}{5}}}{(1+z^5)^{\frac{4}{5}}}dz</math>
+<math>f(z)=\int_0^z\frac{(1-\zeta^5)^{\frac{2}{5}}}{(1+\zeta^5)^{\frac{4}{5}}}\,d\zeta</math>