"오일러 치환"의 두 판 사이의 차이

2010년 5월 30일 (일) 04:05 판

\(R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\)형태의 적분을 유리함수의 적분으로 바꾸는 변수치환 \(x=x(t)\)
유리함수의 적분은 인수분해를 통하여 가능하므로, 이러한 형태의 적분 문제를 완전히 이해하는 셈이 된다
이차곡선\(y^2=ax^2+bx+c\)를 유리함수 \(f,g\)를 사용하여 \(x=f(t), y=g(t)\)로 매개화할 수 있기 때문에 가능하다
삼각치환이 잘 작동하는 이유를 설명해준다
타원적분론을 공부하기 전에 이해하면 도움이 된다

\(a>0\) 일때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x\) 로 치환
예
\(\int\sqrt{x^2-4}\,dx\)
\(\sqrt{x^2-4}=t-x\)
\(x=\frac{4+t^2}{2t}\)
\(\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt\)

\(c>0\) 일때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}\) 로 치환
예
\(\int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\,dx\)
\(\sqrt{1-x^2}=xt+1\)
\(x=\frac{2t}{t^2+1}\)
\(\int \frac{1+2 t^2-3 t^4}{t \left(1+t^2\right)^2}\,dt\)

\(ax^2+bx+c=0\)가 두 실근u,v를 가질때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-u)\)로 치환
예
\(\int\sqrt{x^2-4}\,dx\)
\(\sqrt{x^2-4}=t(x-2)\)
\(x=\frac{2t^2+2}{t^2-1}\)
\(\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt\)

유리함수 R에 대한 \(R(x,\sqrt{x^3+ax^2+bx+c})\) 의 부정적분
\(\int R(x,\sqrt{x^3+ax^2+bx+c})\,dx\)
단, \(x^3+ax^2+bx+c\)는 서로 다른 해를 가짐
곡선 \(y^2=x^3+ax^2+bx+c\)는 위에서처럼 적당한 유리함수 \(x=f(t), y=g(t)\) 로 매개화할 수 없기 때문에, 이야기가 달라지게 된다
타원적분

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 * <math>a>0</math> 일때, <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x</math> 로 치환
 *  예<br><math>\int\sqrt{x^2-4}\,dx</math><br><math>\sqrt{x^2-4}=t-x</math><br><math>x=\frac{4+t^2}{2t}</math><br><math>\int \frac{2t^4-16t^2+32}{8t^3}\,dt</math><br>
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 *  유리함수 R에 대한 <math>R(x,\sqrt{x^3+ax^2+bx+c})</math> 의 부정적분<br><math>\int R(x,\sqrt{x^3+ax^2+bx+c})\,dx</math><br> 단, <math>x^3+ax^2+bx+c</math>는 서로 다른 해를 가짐<br>
 *  곡선 <math>y^2=x^3+ax^2+bx+c</math>는 위에서처럼 적당한 유리함수 <math>x=f(t), y=g(t)</math> 로 매개화할 수 없기 때문에, 이야기가 달라지게 된다<br>
-* [[#]]<br>
+* [[타원적분]]<br>