"오일러-가우스 초기하함수2F1"의 두 판 사이의 차이

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*  적분표현<br><math>\,_2F_1(a,b;c;z)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(c-a)\Gamma(a)}\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-zt)^{-b}\,dt</math><br>
 
*  적분표현<br><math>\,_2F_1(a,b;c;z)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(c-a)\Gamma(a)}\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-zt)^{-b}\,dt</math><br>
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*  초기하급수를 해석적확<br>
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*  초기하급수의 해석적확장을 통해 얻어진 함수를 초기하함수라 함<br>
  
 
 
 
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">초기하급수로 표현되는 함수의 예</h5>
 
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* [[타원적분]]<br><math>K(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)</math><br><math>E(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},-\frac{1}{2};1;k^2)</math><br>
  
 
 
 
 
  
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* [[타원적분]][[타원적분|]]<math>K(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)</math><br><math>E(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},-\frac{1}{2};1;k^2)</math><br>
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">타원적분과 초기하급수</h5>
 
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">타원적분과 초기하급수</h5>
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*  <br>[[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]<br>[[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)|]]<math>K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}} = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{2})_n}{n!} k^{2n}\sin^{2n}\theta{d\theta}  </math><br>
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* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]<br>[[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)|]]<math>K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}} = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{2})_n}{n!} k^{2n}\sin^{2n}\theta{d\theta}  </math><br>
  
 
(증명)
 
(증명)

2009년 12월 7일 (월) 08:02 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

 

개요
  • 초기하급수로서의 정의
    \(\,_2F_1(a,b;c;z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_nn!}z^n, |z|<1\)
  • 적분표현
    \(\,_2F_1(a,b;c;z)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(c-a)\Gamma(a)}\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-zt)^{-b}\,dt\)
  • 초기하급수의 해석적확장을 통해 얻어진 함수를 초기하함수라 함

 

 

초기하급수로 표현되는 함수의 예
  • 타원적분
    \(K(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)\)
    \(E(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},-\frac{1}{2};1;k^2)\)

 

 

항등식

 

 

 

피카드-Fuchs 미분방정식

 

 

타원적분과 초기하급수

(증명)

\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}\theta{d\theta}=\frac{\pi}{2}\frac{(\frac{1}{2})_n}{(1)_n}\) (감마함수) 이므로

\(K(k) = \frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{2})_n(\frac{1}{2})_n}{n!(1)_n}k^{2n} = \frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)\)

 

 

special values

\(\,_2F_1(a,b;c;1)=\dfrac{\Gamma(c)\,\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}\)

\(\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{1}{2})=K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}B(1/4,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=1.8540746773\cdots\)

 

 

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관련논문
  • Special values of the hypergeometric series II
    • Joyce, G. S.; Zucker, I. J., Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society (2001), 131 : 309-319
  • Special values of the hypergeometric series
    • Joyce, G. S.; Zucker, I. J., Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society (1991)  volume: 109  issue: 2  page: 257

 

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