"외대수(exterior algebra)와 다중선형대수(multilinear algebra)"의 두 판 사이의 차이
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* k-alternating form<br><math>f:V^k\to{\mathbb R},\qquad f(v_{\sigma(1),\cdots,v_{\sigma(k)}})=(\text{sgn}\sigma)f(v_1,\cdots,v_k) \quad\text{for all} \quad\sigma\in S_k.</math><br> | * k-alternating form<br><math>f:V^k\to{\mathbb R},\qquad f(v_{\sigma(1),\cdots,v_{\sigma(k)}})=(\text{sgn}\sigma)f(v_1,\cdots,v_k) \quad\text{for all} \quad\sigma\in S_k.</math><br> | ||
* <math>A^k(V)</math> : the set of k-alternating forms on V | * <math>A^k(V)</math> : the set of k-alternating forms on V | ||
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br> | * [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br> | ||
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=exterior | ** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=exterior | ||
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* [http://www.kss.or.kr/pds/sec/dic.aspx 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표] | * [http://www.kss.or.kr/pds/sec/dic.aspx 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표] | ||
* [http://cgi.postech.ac.kr/cgi-bin/cgiwrap/sand/terms/terms.cgi 한국물리학회 물리학 용어집 검색기] | * [http://cgi.postech.ac.kr/cgi-bin/cgiwrap/sand/terms/terms.cgi 한국물리학회 물리학 용어집 검색기] | ||
2012년 7월 30일 (월) 11:28 판
이 항목의 수학노트 원문주소
개요
- \(\Lambda(V)\) : alternating algebra, exterior algebra, 그라스만 대수 라는 이름으로 불림
- 기하학에서 미분형식 을 정의하기 위한 대수적 장치
- 클리포드 대수 로 일반화된다
텐서 공간
- V : 유한차원 벡터공간
- \(V^{*}\) : V의 쌍대공간
- \(T=V\otimes \cdots \otimes V \cdots \otimes V^{*}\cdots \otimes V^{*}\) : 텐서공간
- \(T\) 의 원소를 텐서라 부른다
- \(V, V^{*}\) 에 대한 multilinear function 으로 이해할 수 있다
텐서 대수 tensor algebra
- \(T(V)\)
외대수 exterior algebra
- 정의 \(\Lambda(V) := T(V)/I\)
- \(\Lambda(V) = \Lambda^0(V)\oplus \Lambda^1(V) \oplus \Lambda^2(V) \oplus \cdots \oplus \Lambda^n(V)\)
- \(\alpha\in \Lambda^k(V), \beta\in \Lambda^p(V)\) 에 대하여 \(\alpha\wedge\beta = (-1)^{kp}\beta\wedge\alpha\) 가 성립한다
외대수의 쌍대 공간
- \(\Lambda^k(V)^{*}\simeq\Lambda^k(V^{*})\)
- \(\langle v_1\wedge\cdots\wedge v_k, f_1\wedge\cdots\wedge f_k\rangle=\det(\langle v_i,f_j\rangle)\)
- \(\langle v_1\wedge\cdots\wedge v_k, f_1\wedge\cdots\wedge f_k\rangle=\det(\langle v_i,f_j\rangle)\)
교대 겹선형 형식 alternating multilinear forms
- 외대수의 쌍대 공간을 생각하는 또다른 방식 \(\Lambda^k(V)^{*}\simeqA^k(V)\)
- k-alternating form
\(f:V^k\to{\mathbb R},\qquad f(v_{\sigma(1),\cdots,v_{\sigma(k)}})=(\text{sgn}\sigma)f(v_1,\cdots,v_k) \quad\text{for all} \quad\sigma\in S_k.\) - \(A^k(V)\) : the set of k-alternating forms on V
- \(A(V) = A^0(V)\oplus A^1(V) \oplus A^2(V) \oplus \cdots \oplus A^n(V)\)
- wedge product 의 구체적인 표현
\(\omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}\operatorname{Alt}(\omega\otimes\eta)\)
여기서 \(\operatorname{Alt}(\omega)(x_1,\ldots,x_k)=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(k)}).\) - (p,q)-shuffle 을 이용한 정의
\(\omega \wedge \eta(x_1,\ldots,x_{k+m}) = \sum_{\sigma \in Sh_{k,m}} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \ldots, x_{\sigma(k+m)}),\)
역사
메모
- http://www.auburn.edu/~tamtiny/math7970-11f.html
- http://math.stackexchange.com/questions/157528/wedgekv-cong-mathrmaltkv?rq=1
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
- 한국물리학회 물리학 용어집 검색기
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
- 매스매티카 파일 목록
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/다중선형대수학
- http://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_algebra
- Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
리뷰논문, 에세이, 강의노트
관련논문