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* [[원분체 (cyclotomic field)]] 의 연구에서 다룰 수 있는 주요 대상
 
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* 오래전 [[방정식과 근의 공식]] 연구의 중요한 실험장
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** 여기서 <math>\omega</math>는 primitive n-th root of unity (단위근)
 
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* 차수는 [[오일러의 totient 함수]] 를 사용하여 <math>\varphi(n)</math> 로 표현됨
 
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* <math>\Phi_n(x) \pmod p</math> 가 어떤 소수 <math>p</math> 에 대해 어떻게 분해되는가의 문제
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<math>p\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math>의 order가 <math>r</math>이라 하자. 즉 r이 <math>p^r=1\pmod n</math> 을 만족시키는 가장 작은 자연수라 하자.
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그러면 <math>\Phi_n(x) \pmod p</math> 는 차수가 r인 기약다항식들의 곱으로 표현된다. 즉 <math>\Phi_n(x) \pmod p</math>의 분해는, <math>p\pmod n</math>에 의해 결정된다.
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(증명)
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원분다항식을 기약다항식으로 분해하여 <math>\Phi_n(x)=f_1f_2\cdot f_l \pmod p</math> 를 얻고, <math>f_1</math>의 차수가 s라고 하자.
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<math>\mathbb{F}_p</math>의 적당한 체확장에서 기약다항식  <math>f_1</math>의 근 <math>\alpha</math> 를 찾자. 그러면, <math>\mathbb F_p[x]/(f_1)\simeq \mathbb F_p(\alpha)\simeq \mathbb F_{p^s}</math> 을 얻는다.
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<math>f_1(\alpha)=0</math> 이므로,  <math>\Phi_n(\alpha)=0</math>이고, 따라서 <math>\alpha^n=1</math> 이다.
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유한체 <math>\mathbb F_{p^s}</math> 는 방정식 <math>x^{p^s}-x=x(x^{p^s-1}-1)</math> 의 근으로 구성되므로, <math>n|{p^s-1}</math> 을 얻는다.
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그러므로, <math>s\geq r</math> 이다.
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이제 <math>s\leq r</math> 임을 보이자. r의 정의로부터, <math>n | p^r-1</math>  임을 안다.
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따라서 <math>\alpha^{p^r-1}=1</math> 즉 <math>\alpha^{p^r}=\alpha</math> 가 된다. 이는 <math>\alpha\in \mathbb F_{p^r}</math> 임을 의미한다.
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따라서  <math>r=s</math> 임이 증명된다. ■
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(따름정리)
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<math>n | p-1</math>  <math>\iff</math>  <math>\Phi_n(x) \pmod p</math>는 일차식들로 분해된다
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위의 정리에서 <math>r=1</math>인 경우에 해당한다   ■
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2011년 11월 8일 (화) 03:22 판

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개요

 

 

 

정의
  • \(\Phi_n(X) = \prod_\omega (X-\omega)\)
    • 여기서 \(\omega\)는 primitive n-th root of unity (단위근)
  • 차수는 오일러의 totient 함수 를 사용하여 \(\varphi(n)\) 로 표현됨

 

 

원분다항식의 상호법칙
  •  
  • \(\Phi_n(x) \pmod p\) 가 어떤 소수 \(p\) 에 대해 어떻게 분해되는가의 문제

 

(정리)

\(p\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)의 order가 \(r\)이라 하자. 즉 r이 \(p^r=1\pmod n\) 을 만족시키는 가장 작은 자연수라 하자.

그러면 \(\Phi_n(x) \pmod p\) 는 차수가 r인 기약다항식들의 곱으로 표현된다. 즉 \(\Phi_n(x) \pmod p\)의 분해는, \(p\pmod n\)에 의해 결정된다.

 

(증명)

원분다항식을 기약다항식으로 분해하여 \(\Phi_n(x)=f_1f_2\cdot f_l \pmod p\) 를 얻고, \(f_1\)의 차수가 s라고 하자.

\(\mathbb{F}_p\)의 적당한 체확장에서 기약다항식  \(f_1\)의 근 \(\alpha\) 를 찾자. 그러면, \(\mathbb F_p[x]/(f_1)\simeq \mathbb F_p(\alpha)\simeq \mathbb F_{p^s}\) 을 얻는다.

\(f_1(\alpha)=0\) 이므로,  \(\Phi_n(\alpha)=0\)이고, 따라서 \(\alpha^n=1\) 이다.

유한체 \(\mathbb F_{p^s}\) 는 방정식 \(x^{p^s}-x=x(x^{p^s-1}-1)\) 의 근으로 구성되므로, \(n|{p^s-1}\) 을 얻는다.

그러므로, \(s\geq r\) 이다.

이제 \(s\leq r\) 임을 보이자. r의 정의로부터, \(n | p^r-1\)  임을 안다.

따라서 \(\alpha^{p^r-1}=1\) 즉 \(\alpha^{p^r}=\alpha\) 가 된다. 이는 \(\alpha\in \mathbb F_{p^r}\) 임을 의미한다.

\(\mathbb F_p[x]/(f_1)\simeq \mathbb F_p(\alpha)\simeq \mathbb F_{p^s}\) 이므로, \(s\leq r\) 이다.

따라서  \(r=s\) 임이 증명된다. ■

 

(따름정리)

\(n | p-1\)  \(\iff\)  \(\Phi_n(x) \pmod p\)는 일차식들로 분해된다

(증명)

위의 정리에서 \(r=1\)인 경우에 해당한다   ■

 

 

 

 

원분다항식 목록

\(\begin{array}{l|ll} & $\phi (n) & \phi _n(x) \\ \hline 1 & 1 & -1+x \\ 2 & 1 & 1+x \\ 3 & 2 & 1+x+x^2 \\ 4 & 2 & 1+x^2 \\ 5 & 4 & 1+x+x^2+x^3+x^4 \\ 6 & 2 & 1-x+x^2 \\ 7 & 6 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6 \\ 8 & 4 & 1+x^4 \\ 9 & 6 & 1+x^3+x^6 \\ 10 & 4 & 1-x+x^2-x^3+x^4 \\ 11 & 10 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10} \\ 12 & 4 & 1-x^2+x^4 \\ 13 & 12 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12} \\ 14 & 6 & 1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6 \\ 15 & 8 & 1-x+x^3-x^4+x^5-x^7+x^8 \\ 16 & 8 & 1+x^8 \\ 17 & 16 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12}+x^{13}+x^{14}+x^{15}+x^{16} \\ 18 & 6 & 1-x^3+x^6 \\ 19 & 18 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12}+x^{13}+x^{14}+x^{15}+x^{16}+x^{17}+x^{18} \\ 20 & 8 & 1-x^2+x^4-x^6+x^8 \end{array}\)

 

역사

 

 

 

관련된 다른 주제들

 

 

수학용어번역

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

사전형태의 참고자료
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