"원분다항식(cyclotomic polynomial)"의 두 판 사이의 차이

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<h5>원분다항식의 상호법칙</h5>
 
<h5>원분다항식의 상호법칙</h5>
  
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* <math>\Phi_n(x) \pmod p</math> 가 어떤 소수 <math>p</math> 에 대해 어떻게 분해되는가의 문제
 
* <math>\Phi_n(x) \pmod p</math> 가 어떤 소수 <math>p</math> 에 대해 어떻게 분해되는가의 문제
  
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그러면 <math>\Phi_n(x) \pmod p</math> 는 차수가 r인 기약다항식들의 곱으로 표현된다. 즉 <math>\Phi_n(x) \pmod p</math>의 분해는, <math>p\pmod n</math>에 의해 결정된다.
 
그러면 <math>\Phi_n(x) \pmod p</math> 는 차수가 r인 기약다항식들의 곱으로 표현된다. 즉 <math>\Phi_n(x) \pmod p</math>의 분해는, <math>p\pmod n</math>에 의해 결정된다.
  
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* 증명은 [[정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)]] 참조
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(증명)
 
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원분다항식을 기약다항식으로 분해하여 <math>\Phi_n(x)=f_1f_2\cdot f_l \pmod p</math> 를 얻고, <math>f_1</math>의 차수가 s라고 하자.
 
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<math>\mathbb{F}_p</math>의 적당한 체확장에서 기약다항식  <math>f_1</math>의 근 <math>\alpha</math> 를 찾자. 그러면, <math>\mathbb F_p[x]/(f_1)\simeq \mathbb F_p(\alpha)\simeq \mathbb F_{p^s}</math> 을 얻는다.
 
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<math>f_1(\alpha)=0</math> 이므로,  <math>\Phi_n(\alpha)=0</math>이고, 따라서 <math>\alpha^n=1</math> 이다.
 
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유한체 <math>\mathbb F_{p^s}</math> 는 방정식 <math>x^{p^s}-x=x(x^{p^s-1}-1)</math> 의 근으로 구성되므로, <math>n|{p^s-1}</math> 을 얻는다.
 
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그러므로, <math>s\geq r</math> 이다.
 
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이제 <math>s\leq r</math> 임을 보이자. r의 정의로부터, <math>n | p^r-1</math>  임을 안다.
 
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따라서 <math>\alpha^{p^r-1}=1</math> 즉 <math>\alpha^{p^r}=\alpha</math> 가 된다. 이는 <math>\alpha\in \mathbb F_{p^r}</math> 임을 의미한다.
 
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<math>\mathbb F_p[x]/(f_1)\simeq \mathbb F_p(\alpha)\simeq \mathbb F_{p^s}</math> 이므로, <math>s\leq r</math> 이다.
 
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따라서  <math>r=s</math> 임이 증명된다. ■
 
  
 
 
 
 
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<math>n | p-1</math>  <math>\iff</math>  <math>\Phi_n(x) \pmod p</math>는 일차식들로 분해된다
 
<math>n | p-1</math>  <math>\iff</math>  <math>\Phi_n(x) \pmod p</math>는 일차식들로 분해된다
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(증명)
 
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위의 정리에서 <math>r=1</math>인 경우에 해당한다   ■
 
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<h5>역사</h5>
 
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
 
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]

2011년 11월 8일 (화) 03:53 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

 

 

 

정의
  • \(\Phi_n(X) = \prod_\omega (X-\omega)\)
    • 여기서 \(\omega\)는 primitive n-th root of unity (단위근)
  • 차수는 오일러의 totient 함수 를 사용하여 \(\varphi(n)\) 로 표현됨

 

 

원분다항식의 상호법칙
  • \(\Phi_n(x) \pmod p\) 가 어떤 소수 \(p\) 에 대해 어떻게 분해되는가의 문제

 

(정리)

\(p\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)의 order가 \(r\)이라 하자. 즉 r이 \(p^r=1\pmod n\) 을 만족시키는 가장 작은 자연수라 하자.

그러면 \(\Phi_n(x) \pmod p\) 는 차수가 r인 기약다항식들의 곱으로 표현된다. 즉 \(\Phi_n(x) \pmod p\)의 분해는, \(p\pmod n\)에 의해 결정된다.

 

(따름정리)

\(n | p-1\)  \(\iff\)  \(\Phi_n(x) \pmod p\)는 일차식들로 분해된다

 

 

원분다항식 목록

\(\begin{array}{l|ll} & $\phi (n) & \phi _n(x) \\ \hline 1 & 1 & -1+x \\ 2 & 1 & 1+x \\ 3 & 2 & 1+x+x^2 \\ 4 & 2 & 1+x^2 \\ 5 & 4 & 1+x+x^2+x^3+x^4 \\ 6 & 2 & 1-x+x^2 \\ 7 & 6 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6 \\ 8 & 4 & 1+x^4 \\ 9 & 6 & 1+x^3+x^6 \\ 10 & 4 & 1-x+x^2-x^3+x^4 \\ 11 & 10 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10} \\ 12 & 4 & 1-x^2+x^4 \\ 13 & 12 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12} \\ 14 & 6 & 1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6 \\ 15 & 8 & 1-x+x^3-x^4+x^5-x^7+x^8 \\ 16 & 8 & 1+x^8 \\ 17 & 16 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12}+x^{13}+x^{14}+x^{15}+x^{16} \\ 18 & 6 & 1-x^3+x^6 \\ 19 & 18 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12}+x^{13}+x^{14}+x^{15}+x^{16}+x^{17}+x^{18} \\ 20 & 8 & 1-x^2+x^4-x^6+x^8 \end{array}\)

 

역사

 

 

 

 

관련된 다른 주제들

 

 

수학용어번역

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

사전형태의 참고자료
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