"유한군의 표현론"의 두 판 사이의 차이

2009년 4월 16일 (목) 17:19 판

경우 1.

경우 2.

nxn 실수 행렬의 곱셈은 결합법칙을 만족시키는가를 증명하는 법 두 가지
- 첫번째, 직접 계산
- 두번째, nxn 행렬을 R^n 을R^n으로 보내는 함수로 보면, 함수는 당연히 결합법칙을 만족하고, 행렬의 곱셈은 함수의 합성과 같으므로 곱셈은 결합법칙을 만족시킴.
첫번째 방법은 단지 두번째 방법은 개념적인 이해를 가능하게 해주는 장점이 있음.

군 = 무언가의 대칭 = 대칭을 가지는 대상에 작용하는 변환
dihedral group을 정의하는 방법
- generator and relation을 사용하는 정의
- 다른 하나는 정다각형의 symmetry로 정의하는 방법
generator and relation을 사용하는 정의하는 경우는 여러가지 계산을 할수 있긴 하지만, 사실 기하학적인 정의없이는 의미없는 계산을 하고 있다고 생각하기 쉬움
주어진 군이 작용하고 있는 어떤 대칭적인 수학적 대상을 알지 못하면, 군에 대한 이해를 했다고 말하기가 어려움.
군이 어디에 작용을 하고 있는가 혹은 이 군은 대체 어디서 기원하는가 하는 질문들이 유한군 표현론의 중요한 질문들
diheral group이 주어져 있다면, 정다각형에 group이 어떻게 작용하고 있는가를 보면서, 2x2 행렬로 각각의 원소를 써볼 수 있음.
- 자연스럽게 군에서 GL(2, R)로 가는 homomorphism이 얻어지게 됨.
이런방식으로 symmetry를 벡터공간 쪽으로 가져 가면 좀더 일관적이고 체계적인 공부가 가능해지게 됨.

@@ 4번째 줄: / 4번째 줄: @@
 * 군을 벡터공간의 선형변환으로 나타내어, 군의 성질을 알아보려 함.
 * 군론의 문제들을 선형대수를 통해서 이해할 수 있게 됨.
+* 푸리에 해석, 좀더 일반적으로 조화해석의 일종으로 이해할 수 있음.
 <h5>표현론의 흔적이 반영된 학부수학</h5>
+경우 1.
 * 코쉬정리에 의하면, 모든 유한군은 대칭군의 부분군으로 생각할 수 있음.
 * 대칭군 <math>S_n</math> 의 원소들은 <math>n \times n </math> 치환행렬로 나타낼 수 있음.
 * 따라서 모든 유한군은 행렬로 나타낼 수 있음.
+경우 2.
 *  nxn 실수 행렬의 곱셈은 결합법칙을 만족시키는가를 증명하는 법 두 가지<br>
 ** 첫번째, 직접 계산
 ** 두번째, nxn 행렬을 R^n 을R^n으로 보내는 함수로 보면, 함수는 당연히 결합법칙을 만족하고, 행렬의 곱셈은 함수의 합성과 같으므로 곱셈은 결합법칙을 만족시킴.
+* 첫번째 방법은 단지 두번째 방법은 개념적인 이해를 가능하게 해주는 장점이 있음.
@@ 48번째 줄: / 53번째 줄: @@
 * [[순환군과 유한아벨군의 표현론|순환군의 표현론]] 은 가장 간단한 경우이고, 일반적인 이론의 도움없이도 이해하기 쉬움.
+*