"이계 선형 미분방정식"의 두 판 사이의 차이

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*  일차독립인 두 해, <math>y_1,y_2</math>에 대하여 다음과 같이 정의된다<br><math>\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2'  \end{vmatrix}</math><br>
 
*  일차독립인 두 해, <math>y_1,y_2</math>에 대하여 다음과 같이 정의된다<br><math>\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2'  \end{vmatrix}</math><br>
*  정리<br><math>\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2'  \end{vmatrix}</math><br>
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*  정리<br><math>\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2'  \end{vmatrix}=e^{-\int{p}\,dz}</math><br>
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(증명)
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<math>\begin{vmatrix} y_1  & y_2 \\ y_1' & y_2'  \end{vmatrix}=\,y_1y_2'-y_1'y_2</math>
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미분하면, <math>y_1'y_2'+y_1y_2''-y_1''y_2-y_1'y_2'=y_1(-py_2'-qy_2)-(-py_1'-qy_1)y_2=-p()</math>
  
 
 
 
 

2010년 4월 23일 (금) 19:27 판

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개요
  • 다음 형태로 주어지는 미분방정식
    \(\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=g(x)\)

 

 

론스키안(Wronskian)
  • 일차독립인 두 해, \(y_1,y_2\)에 대하여 다음과 같이 정의된다
    \(\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}\)
  • 정리
    \(\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}=e^{-\int{p}\,dz}\)

(증명)

\(\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}=\,y_1y_2'-y_1'y_2\)

미분하면, \(y_1'y_2'+y_1y_2''-y_1''y_2-y_1'y_2'=y_1(-py_2'-qy_2)-(-py_1'-qy_1)y_2=-p()\)

 

 

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