"이계 선형 미분방정식"의 두 판 사이의 차이

2012년 7월 25일 (수) 04:57 판

일차독립인 두 해, \(y_1,y_2\)에 대하여 다음과 같이 정의된다
\(\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}\)
정리
\(\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}=\,c e^{-\int{p}\,dz}\)

(증명)

\(W=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}=\,y_1y_2'-y_1'y_2\)

\(W'=y_1'y_2'+y_1y_2''-y_1''y_2-y_1'y_2'=y_1(-py_2'-qy_2)-(-py_1'-qy_1)y_2=-p(y_1y_2'-y_1'y_2)=-pW\)

따라서 적당한 상수 c에 대하여, \(W=\,c e^{-\int{p}\,dz}\) ■

\(\sigma(x)=e^{-\frac{1}{2} \int p(x) \, dx}\) 로 두자 .

\(y(x)=\sigma(x)u(x)\) 가 미분방정식의 해이면,

\(u''(x)-\frac{1}{4} u(x) \left(2 p'(x)+p(x)^2-4 q(x)\right)=0\) 가 성립한다

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 <h5>미분방정식의 변환</h5>
-<math>\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=0</math>
+* <math>y''+p(x)y'+q(x)y=0</math> 의 가운데 <math> p(x)y</math> 항을 적당한 변환에 의해 없앨 수 있다
+<math>\sigma(x)=e^{-\frac{1}{2} \int p(x) \, dx}</math> 로 두자 .
-<math>y(x)=\sigma(x)u(x)</math>
+<math>y(x)=\sigma(x)u(x)</math> 가 미분방정식의 해이면,
+<math>u''(x)-\frac{1}{4} u(x) \left(2 p'(x)+p(x)^2-4 q(x)\right)=0</math> 가 성립한다