이중적분과 바젤문제

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• 이중적분과 바젤문제

 

 

==개요

• \(\zeta(2) ={\pi^2}/{6}\) 의 계산을 다음 이중적분을 이용해 할 수 있다
  \(\int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy \)
  
• 또 다른 이중적분
  \(\int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x y}dxdy \)
  도 사용할 수 있는데, 이는 다이로그 함수(dilogarithm) 와 관계있다
  

 

 

==단계 1

\(I = \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy = \frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}+\cdots\) 임을 먼저 보이자.

\(\int_{0}^{1} \frac{1}{1-y^2 x^2} \, dx = \frac{\tanh ^{-1}(y)}{y}=1+\frac{y^2}{3}+\frac{y^4}{5}+\frac{y^6}{7}+\frac{y^8}{9}+\frac{y^{10}}{11}+\cdots\) 이므로

\(I = \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy = \frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}+\cdots\) 가 성립한다.

 

 

==단계 2

\(I = \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy\) 에서 \(x=\sin (u) \sec (v)\), \(y=\sec (u) \sin (v)\) 로 치환을 하자.

자코비안은 다음과 같다.

\(\left|\left( \begin{array}{cc} \cos (u) \sec (v) & \sin (u) \tan (v) \sec (v) \\ \tan (u) \sec (u) \sin (v) & \sec (u) \cos (v) \end{array} \right)\right|=1-\tan ^2(u) \tan ^2(v)\)

\(I=\int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{\pi/2-v} \frac{1}{1-\tan ^2(u) \tan ^2(v)}\left(1-\tan ^2(u) \tan ^2(v)\right) dudv =\frac{\pi ^2}{8}\)

 

 

==단계 3

\(I = \frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}+\cdots = \frac{3}{4}\zeta(2)\) 임을 보이자.

(증명)

\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}+\frac{1}{10^2}+\cdots = \frac{1}{4}\zeta(2)\)

따라서

\(\zeta(2) = I + \frac{1}{4}\zeta(2)\) ■

 

 

 

==역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표

 

 

==메모

 

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

 

 

==관련된 항목들

 

 

==매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxNjJjZjE4ZDAtNmRiOS00ZWRmLWEwODctNGYzY2VhNjQwYWI0&sort=name&layout=list&num=50
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://functions.wolfram.com/
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Numbers, constants and computation
• 매스매티카 파일 목록

 

수학용어번역

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  • http://translate.google.com/#en%7Cko%7C
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• 발음사전 http://www.forvo.com/search/
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• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

 

==사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
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• The Online Encyclopaedia of Mathematics
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The World of Mathematical Equations

 

 

==리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

 

==관련논문

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/

 

 

==관련도서

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