"합동수 문제 (congruent number problem)"의 두 판 사이의 차이

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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
 
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<math>y^2=x^3-n^2x</math>
 
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* 따라서 직각삼각형의 세 변의 길이가 <math>a,b,c</math>이고 그 넓이가 <math>n</math>
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* 따라서 세 변의 길이가 <math>a,b,c</math>이고 그 넓이가 <math>n</math>인 직각삼각형이 있으면, 타원곡선  <math>y^2=x^3-n^2x</math>의 유리해를 얻는다.
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*  그러면 역으로 타원곡선  <math>y^2=x^3-n^2x</math>의 유리해가 있을때, 이러한 조건을 만족시키는 직각삼각형을 찾을 수 있을까?<br>
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** 일반적으로는 그렇지 않음.
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** 그러나 <math>x</math> 가 어떤 유리수의 제곱으로 주어지고, 그 분모가 짝수라면, 조건을 만족시키는 직각삼각형을 찾을 수 있다.
  
 
 
 
 
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* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
 
* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
 
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
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** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=congruent
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]

2009년 10월 13일 (화) 04:24 판

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간단한 소개
  • 자연수 중에서 세변이 모두 유리수 길이를 갖는 직각삼각형의 넓이로 나타날 수 있는 수를 congruent number라 함

 

 

타원곡선과의 관계

 

  • 직각삼각형의 세 변의 길이가 \(a,b,c\)로 주어졌다고 가정하고 그 넓이가 \(n\) 이라 하자.

\(a^2 + b^2 &=& c^2\\ \frac{ab}{2} &=& n\)

다음 방정식이 만족됨을 알 수 있다.

\((\frac{a^2-b^2}{4})^2=(\frac{c}{2})^4-n^2\)

\(u=\frac{c}{2}\), \(v=\frac{a^2-b^2}{4}\) 로 두자.

디오판투스 방정식 \(u^4-n^2=v^2\) 가 유리해를 가짐을 알 수 있다.

\(u^4-n^2=v^2\)에서 \(u^6-n^2u^2=u^2v^2\) 를 얻은 뒤, \(x=u^2\), \(y=uv\) 로 두면, 다음 타원곡선의 방정식을 얻는다.

\(y^2=x^3-n^2x\)

  • 따라서 세 변의 길이가 \(a,b,c\)이고 그 넓이가 \(n\)인 직각삼각형이 있으면, 타원곡선  \(y^2=x^3-n^2x\)의 유리해를 얻는다.
  • 그러면 역으로 타원곡선  \(y^2=x^3-n^2x\)의 유리해가 있을때, 이러한 조건을 만족시키는 직각삼각형을 찾을 수 있을까?
    • 일반적으로는 그렇지 않음.
    • 그러나 \(x\) 가 어떤 유리수의 제곱으로 주어지고, 그 분모가 짝수라면, 조건을 만족시키는 직각삼각형을 찾을 수 있다.

 

 

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