"합동수 문제 (congruent number problem)"의 두 판 사이의 차이

2009년 10월 14일 (수) 15:46 판

\(a^2 + b^2 &=& c^2\\ \frac{ab}{2} &=& n\)

다음 방정식이 만족됨을 알 수 있다.

\((\frac{a^2-b^2}{4})^2=(\frac{c}{2})^4-n^2\)

\(u=\frac{c}{2}\), \(v=\frac{a^2-b^2}{4}\) 로 두자.

디오판투스 방정식 \(u^4-n^2=v^2\) 가 유리해를 가짐을 알 수 있다.

\(u^4-n^2=v^2\)에서 \(u^6-n^2u^2=u^2v^2\) 를 얻은 뒤, \(x=u^2\), \(y=uv\) 로 두면, 다음 타원곡선의 방정식을 얻는다.

\(y^2=x^3-n^2x\)

따라서 세 변의 길이가 \(a,b,c\)이고 그 넓이가 \(n\)인 직각삼각형이 있으면, 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\)의 유리해를 얻는다.
그러면 역으로 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\)의 유리해가 있을때, 이러한 조건을 만족시키는 직각삼각형을 찾을 수 있을까?

(정리)

자연수 \(n\) 은 congruent number 이다 \(\iff\) 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\) 이 \(y\neq0\)인 유리해를 갖는다.

\(y\neq0\)인 유리수해 \((x,y)\) 에 대하여

\(a=|\frac{n^2-x^2}{y}|\), \(b=|\frac{2nx}{y}|\), \(c=|\frac{n^2+x^2}{y}|\)

로 두면 각 변이 유리수 길이를 갖는 직각삼각형을 얻을 수 있다.

타원곡선 \(y^2=x^3-x\)의 유리수해는 다음과 같다
\(E(\mathbb Q)=\{(\infty,\infty), (0,0),(1,0),(-1,0)\} \)
따라서 n=1은 congruent number 가 아니다

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 * 따라서 세 변의 길이가 <math>a,b,c</math>이고 그 넓이가 <math>n</math>인 직각삼각형이 있으면, 타원곡선  <math>y^2=x^3-n^2x</math>의 유리해를 얻는다.
-*  그러면 역으로 타원곡선  <math>y^2=x^3-n^2x</math>의 유리해가 있을때, 이러한 조건을 만족시키는 직각삼각형을 찾을 수 있을까?<br>
+* 그러면 역으로 타원곡선  <math>y^2=x^3-n^2x</math>의 유리해가 있을때, 이러한 조건을 만족시키는 직각삼각형을 찾을 수 있을까?
-** 일반적으로는 그렇지 않
-** 그러나 <math>x</math> 가 어떤 유리수의 제곱으로 주어지고, 그 분모가 짝수라면, 조건을 만족시키는 직각삼각형을 찾을 수 있다.
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 자연수 <math>n</math> 은 congruent number 이다 <math>\iff</math> 타원곡선 <math>y^2=x^3-n^2x</math> 이 <math>y\neq0</math>인 유리해를 갖는다.
+<math>y\neq0</math>인 유리수해 <math>(x,y)</math> 에 대하여
+<math>a=|\frac{n^2-x^2}{y}|</math>, <math>b=|\frac{2nx}{y}|</math>, <math>c=|\frac{n^2+x^2}{y}|</math>
+로 두면 각 변이 유리수 길이를 갖는 직각삼각형을 얻을 수 있다.
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+<h5>n=5인 경</h5>