"정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)"의 두 판 사이의 차이

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*  주어진 판별식<math>\Delta</math> 를 갖는 이차형식의 동치류를 분류하는 문제<br>
 
*  주어진 판별식<math>\Delta</math> 를 갖는 이차형식의 동치류를 분류하는 문제<br>
 
** <math>\Delta=b^2-4ac</math>를 만족시키는 모든 <math>ax^2+bxy+cy^2</math> 형태의 정수계수 다항식을 찾는 것<br>
 
** <math>\Delta=b^2-4ac</math>를 만족시키는 모든 <math>ax^2+bxy+cy^2</math> 형태의 정수계수 다항식을 찾는 것<br>
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**  판별식이 <math>\Delta</math>인 primitive 이차형식의 동치류의 개수를 <math>\Delta</math>에 대한 [[수체의 class number|class number]] 라 함<br>
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**  판별식이 <math>\Delta</math>인 primitive 이차형식의 동치류의 개수 <math>h(\Delta)</math>를 <math>\Delta</math>에 대한 [[수체의 class number|class number]] 라 함<br>
  
 
 
 
 
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<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">예</h5>
 
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* <math>\Delta=b^2-4ac=-3</math><br>
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** <math>x^2+xy+y^2</math>
 
* <math>\Delta=b^2-4ac=-4</math><br>
 
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** <math>x^2+y^2</math>
 
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* <math>\Delta=b^2-4ac=-7</math><br>
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** <math>x^2+xy+2y^2</math>
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* <math>\Delta=b^2-4ac=-8</math><br>
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* <math>\Delta=b^2-4ac=-11</math><br>
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* <math>\Delta=b^2-4ac=-12</math><br>
 
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** <math>x^2+3y^2</math>
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** <math>2x^2+2xy+2y^2</math> (이 경우는 primitive 가 아님)
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** <math>x^2+3y^2</math>, <math>2x^2+2xy+2y^2</math> (이 경우는 primitive 가 아님)
 
* <math>\Delta=b^2-4ac=-15</math><br>
 
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*  기약 형식<br>
 
*  기약 형식<br>
 
**  양의 정부호 형식(positive definite) 인 경우에 다음 조건을 만족시키면 기약 형식이라 부름<br><math>|b|\leq a \leq c</math> and <math>b \geq 0</math> if either <math>|b|=a </math> or <math>a=c</math><br>
 
**  양의 정부호 형식(positive definite) 인 경우에 다음 조건을 만족시키면 기약 형식이라 부름<br><math>|b|\leq a \leq c</math> and <math>b \geq 0</math> if either <math>|b|=a </math> or <math>a=c</math><br>
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* <math>ax^2+bxy+cy^2=a(x+\tau y)(x+\bar{\tau} y)</math>, <math>\Im \tau >0</math> 로 쓰면, 기약형식의 조건과 fundamental domain의 조건을 다음과 같이 이해할 수 있다<br><math>|b|\leq a \Leftrightarrow |\tau+\bar\tau|\leq 1 \Leftrightarrow |\mbox{Re}(\tau)| \leq \frac{1}{2}</math><br><math>a\leq c \Leftrightarrow \tau\bar\tau\geq 1</math><br>  <br>
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* <math>ax^2+bxy+cy^2=a(x+\tau y)(x+\bar{\tau} y)</math>, <math>\Im \tau >0</math> 로 쓰면, 기약형식의 조건과 fundamental domain의 조건을 다음과 같이 이해할 수 있다<br><math>|b|\leq a \Leftrightarrow |\tau+\bar\tau|\leq 1 \Leftrightarrow |\mbox{Re}(\tau)| \leq \frac{1}{2}</math><br><math>a\leq c \Leftrightarrow \tau\bar\tau\geq 1\Leftrightarrow |\tau|\geq 1</math><br>  <br>
  
 
 
 
 

2009년 8월 10일 (월) 20:43 판

간단한 소개
  • \(ax^2+bxy+cy^2\) 형태의 정수계수 다항식
  • 자연수를 두 개의 제곱의 합으로 표현하는 문제에서 체계적인 연구가 시작

 

 

기본용어
  • 판별식
    \(\Delta=b^2-4ac\)
  • 이차형식의 동치류
    • 다음 두 변환에 의한 이차형식은 모두 같은 동치류에 있다고 정의
      \(x \to x+y\) , \(y \to y\)
      \(x \to x\), \(y \to x+y\)
      행렬로 표현하면 각각 다음과 같으며 모듈라 군(modular group)을 생성함
      \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \), \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)
    • 즉 \(f(x,y)=g(ax+by,cx+dy)\) 인 정수 \(ad-bc= 1\) 가 존재하면, \(f\sim g\) 이라 함
  • primitive 이차형식
    \(a,b,c\) 가 서로소인 이차형식 \(ax^2+bxy+cy^2\)

 

중요한 문제들
  • 주어진 이차형식이 표현할 수 있는 정수에 관한 문제
    • 예) \(x^2+ny^2\) 꼴로 표현될 수 있는 정수집합은 무엇인가?
    • 예) \(x^2+ny^2\) 꼴로 표현될 수 있는 소수는 무엇인가?
  • 주어진 판별식\(\Delta\) 를 갖는 이차형식의 동치류를 분류하는 문제
    • \(\Delta=b^2-4ac\)를 만족시키는 모든 \(ax^2+bxy+cy^2\) 형태의 정수계수 다항식을 찾는 것
    • 판별식이 \(\Delta\)인 primitive 이차형식의 동치류의 개수 \(h(\Delta)\)를 \(\Delta\)에 대한 class number 라 함

 

예
  • \(\Delta=b^2-4ac=-3\)
    • \(x^2+xy+y^2\)
  • \(\Delta=b^2-4ac=-4\)
    • \(x^2+y^2\)
  • \(\Delta=b^2-4ac=-7\)
    • \(x^2+xy+2y^2\)
  • \(\Delta=b^2-4ac=-8\)
    • \(x^2+2y^2\)
  • \(\Delta=b^2-4ac=-11\)
    • \(x^2+xy+3y^2\)
  • \(\Delta=b^2-4ac=-12\)
    •  
    • \(x^2+3y^2\), \(2x^2+2xy+2y^2\) (이 경우는 primitive 가 아님)
  • \(\Delta=b^2-4ac=-15\)
    •  
    • \(x^2+xy+4y^2\), \(2x^2+xy+2y^2\)
  • \(\Delta=b^2-4ac=-23\)
    •  
    • \(x^2+xy+6y^2\), \(2x^2-xy+3y^2\), \(2x^2+xy+3y^2\)

 

기약형식과 모듈라 군
  • 모듈라 군의 fundamental domain은 다음과 같다
    \(R = \left\{ \tau \in H: \left| \tau \right| \geq 1,\, \left| \,\mbox{Re}(\tau) \,\right| \leq \frac{1}{2} \right\}\)
    + 경계조건
  • 기약 형식
    • 양의 정부호 형식(positive definite) 인 경우에 다음 조건을 만족시키면 기약 형식이라 부름
      \(|b|\leq a \leq c\) and \(b \geq 0\) if either \(|b|=a \) or \(a=c\)
  • \(ax^2+bxy+cy^2=a(x+\tau y)(x+\bar{\tau} y)\), \(\Im \tau >0\) 로 쓰면, 기약형식의 조건과 fundamental domain의 조건을 다음과 같이 이해할 수 있다
    \(|b|\leq a \Leftrightarrow |\tau+\bar\tau|\leq 1 \Leftrightarrow |\mbox{Re}(\tau)| \leq \frac{1}{2}\)
    \(a\leq c \Leftrightarrow \tau\bar\tau\geq 1\Leftrightarrow |\tau|\geq 1\)
     

 

 

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