"교란순열 (derangement)"의 두 판 사이의 차이

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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
 
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
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* number of permutations of n points without fixed points
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*  n명의 사람이 있고, 그들의 이름이 써진 명찰 n개가 있다. 명찰을 랜덤하게 나눠줬을 때, 단 한 사람도 자기 명찰을 받지 않는 경우의 수 <math>D_n</math><br>
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*  목욕탕에 n명의 사람이 있다. 몇 사람씩 그룹을 만들어 동그랗게 서서, 서로 등을 밀어주는 경우의 수 <math>D_n</math>은 얼마인가? 혼자서 자기 등을 밀 수는 없다.<br>
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*  이 수열 <math>D_n</math>에는 (arrangement의 반대 개념으로) [http://en.wikipedia.org/wiki/Derangement derangement] 라는 이름이 붙어 있음<br><math>D_0=1,D_1=0,D_2=1,D_3=2,D_4=9,D_5=44,D_6=265,\cdots</math><br>
  
 
 
 
 
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<h5><math>D_4</math>의 경우</h5>
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문제 : 목욕탕에 n명의 사람이 있다. 몇 사람씩 그룹을 만들어 동그랗게 서서, 서로 등을 밀어주는 경우의 수 <math>D_n</math>은 얼마인가? 혼자서 자기 등을 밀 수는 없다.
 
  
 
예를 들어 1,2,3,4 네 사람이 있는 경우를 생각해 보자. 말을 줄이기 위해, 기호를 하나 정의한다. (abc…d) 라는 것은 a는 b의 등을 밀고, b는 c의 등을 밀고, … , d는 a의 등을 미는 것을 뜻한다. 1,2,3,4 네 명이서 서로 등을 밀어 주는 경우의 수는 다음과 같이 셀 수 있다.
 
예를 들어 1,2,3,4 네 사람이 있는 경우를 생각해 보자. 말을 줄이기 위해, 기호를 하나 정의한다. (abc…d) 라는 것은 a는 b의 등을 밀고, b는 c의 등을 밀고, … , d는 a의 등을 미는 것을 뜻한다. 1,2,3,4 네 명이서 서로 등을 밀어 주는 경우의 수는 다음과 같이 셀 수 있다.
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(1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432), (12)(34), (13)(24), (14)(23)
 
(1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432), (12)(34), (13)(24), (14)(23)
  
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따라서 모두 9가지 경우가 있다. (수학과 학부생쯤 되면, 이러한 기호를 통해 문제가 묻는 것이 number of permutations of n points without fixed points 라는 것을 눈치챌 수 있다)
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따라서 모두 9가지 경우가 있다. 즉 <math>D_4=9</math>
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똑같은 문제로 다음과 같은 상황을 들 수 있다.
 
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n명의 사람이 있고, 그들의 이름이 써진 명찰 n개가 있다. 명찰을 랜덤하게 나눠줬을 때, 단 한 사람도 자기 명찰을 받지 않는 경우의 수 <math>D_n</math>은?
 
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이렇게 표현하는 것이 아무래도 목욕탕 문제보다는 좀더 품위가 있고 쉽게 느껴질 것 같다.
 
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이 수열 <math>D_n</math>에는 (arrangement의 반대 개념으로) [http://en.wikipedia.org/wiki/Derangement derangement] 라는 이름이 붙어 있다.
 
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<math>D_0=1,D_1=0,D_2=1,D_3=2,D_4=9,D_5=44,D_6=265,\cdots</math>
 
  
 
 
 
 
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* <math>D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})</math>
 
* <math>D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})</math>
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* 점화식의 변형
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* <math>D_n-nD_{n-1}=-(D_{n-1}-(n-1)D_{n-2})</math>
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* <math>D_n-nD_{n-1}=(-1)^n</math><br>
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심심할 때 각자 생각해 보기에 참 좋은 문제인 것 같다. (요즘 쥔장이 약간 귀차니즘에 빠져있다.)
 
  
 
 
 
 
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이 점화식을 변형하면 다음을 얻을 수 있다.
 
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<math>D_n-nD_{n-1}=-(D_{n-1}-(n-1)D_{n-2})</math>
 
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따라서,
 
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<math>D_n-nD_{n-1}=(-1)^n</math>
 
  
 
 
 
 
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<h5>생성함수</h5>
 
<h5>생성함수</h5>
  
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이제 이 수열에 대하여 지수생성함수를 계산해 보자. 지수생성함수는 다음과 같이 정의된다.
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*  지수생성함수는 다음과 같다<br><math>f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{D_n}{n!}x^n=\frac{e^{-x}}{1-x}</math><br>
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<math>f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{D_n}{n!}x^n=\frac{e^{-x}}{1-x}</math>
 
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(증명)
 
(증명)
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그러므로 수열의 일반항은 다음과 같이 주어진다.
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<h5>수열의 일반항</h5>
  
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<math>\frac{D_n}{n!}=1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots%20+(-1)^n\frac{1}{n!}</math>
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*  위에서 얻은 생성함수로부터 수열의 일반항을 구할 수 있다<br><math>\frac{D_n}{n!}=1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots+(-1)^n\frac{1}{n!}</math><br>
  
 
 
 
 

2009년 12월 24일 (목) 07:21 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • number of permutations of n points without fixed points
  • n명의 사람이 있고, 그들의 이름이 써진 명찰 n개가 있다. 명찰을 랜덤하게 나눠줬을 때, 단 한 사람도 자기 명찰을 받지 않는 경우의 수 \(D_n\)
  • 목욕탕에 n명의 사람이 있다. 몇 사람씩 그룹을 만들어 동그랗게 서서, 서로 등을 밀어주는 경우의 수 \(D_n\)은 얼마인가? 혼자서 자기 등을 밀 수는 없다.
  • 이 수열 \(D_n\)에는 (arrangement의 반대 개념으로) derangement 라는 이름이 붙어 있음
    \(D_0=1,D_1=0,D_2=1,D_3=2,D_4=9,D_5=44,D_6=265,\cdots\)

 

 

\(D_4\)의 경우

예를 들어 1,2,3,4 네 사람이 있는 경우를 생각해 보자. 말을 줄이기 위해, 기호를 하나 정의한다. (abc…d) 라는 것은 a는 b의 등을 밀고, b는 c의 등을 밀고, … , d는 a의 등을 미는 것을 뜻한다. 1,2,3,4 네 명이서 서로 등을 밀어 주는 경우의 수는 다음과 같이 셀 수 있다.

(1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432), (12)(34), (13)(24), (14)(23)

따라서 모두 9가지 경우가 있다. 즉 \(D_4=9\)

 

 

점화식
  • \(D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\)
  • \(D_n-nD_{n-1}=-(D_{n-1}-(n-1)D_{n-2})\)
  • \(D_n-nD_{n-1}=(-1)^n\)

 

 

생성함수
  • 지수생성함수는 다음과 같다
    \(f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{D_n}{n!}x^n=\frac{e^{-x}}{1-x}\)

(증명)

위에서 얻은 점화식을 사용하면,

\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{D_n-nD_{n-1}}{n!}x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}x^n=e^{-x}\)

 

좌변을 계산하면,

 

\(\text{LHS}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{D_n}{n!}x^n-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{nD_{n-1}}{n!}x^n=f(x)-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{D_{n-1}}{(n-1)!}x^n=f(x)-xf(x)\)

 

따라서,

 

\(f(x)=\frac{e^{-x}}{1-x}=(1+x+x^2+x^3+\cdots)(1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\cdots)\) ■

 

 

수열의 일반항
  • 위에서 얻은 생성함수로부터 수열의 일반항을 구할 수 있다
    \(\frac{D_n}{n!}=1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots+(-1)^n\frac{1}{n!}\)

 

 

자연상수와의 관계

 

 

이 식으로부터 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다.

 

(n이 충분히 클 때) n명의 사람이 있고, 그들의 이름이 써진 명찰 n개가 있다. 명찰을 랜덤하게 나눠줬을 때, 단 한 사람도 자기 명찰을 받지 않을 확률은 \(\frac{1}{e}\)에 가깝다.

 

재미있는 사실

 

 

 

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