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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
  
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* [[최단시간강하곡선 문제(Brachistochrone problem)]]
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* 중력을 받고 있는 물체가 정지상태에서 출발하여 가장 짧은 시간내에 하강하기 위해서 따라야 하는 곡선
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*  1697년에 베르누이에 의하여 답이 출판<br>[/pages/4402517/attachments/3980829 ParabNickF.gif]<br>
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[http://books.google.com/books?id=dptKVr-5LJAC&pg=PA223&sig=PVA7Q1U_MyXinobyhOf54BwjShQ&hl=en#v=onepage&q&f=false ]
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곡선의 시작점을 <math>(x_0,y_0)=(0,0)</math>, 끝점을 <math>(x_1,y_1)</math>라 두자.
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곡선을 따라 내려올때 걸리는 시간은 다음과 같이 구할 수 있다.
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<math>t=\int \frac{1}{v} \, ds</math>(v는 속력, ds 는 길이요소, t는 시간)
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에너지 보존 법칙 <math>mgy=\frac{1}{2}mv^2</math>  에서<math>v=\sqrt{2gy}</math>.
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이제 곡선의 x좌표를 y의 함수로 생각하자. 곡선을 따라 내려올 때 걸리는 시간은
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<math>T=\int \frac{1}{v} \, ds=\frac{1}{\sqrt{2g}}\int_{0}^{y} \frac{\sqrt{1+x'(y)^2}}{\sqrt{y}} \, dy</math>
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문제의 정의에 따라 이 적분값을 최소가 되게 하는 곡선을 찾아야 한다.
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<math>F(y,x,x')=\frac{\sqrt{1+(x')^2}}{\sqrt{y}}</math> 에 대하여 [[오일러-라그랑지 방정식]] 을 적용하면,
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<math>0 =\frac{\partial F}{\partial x} - \frac{d}{dy} \frac{\partial F}{\partial x'}=-\frac{d}{dy}(\frac{x'(y)}{\sqrt{y(1+x'(y)^2)}})</math>
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적당한 상수 a에 대하여 <math>\frac{x'(y)}{\sqrt{y(1+x'(y)^2)}}=\frac{1}{\sqrt{2a}}</math>라 두자.
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이를 풀면 미분방정식  <math>\frac{dx}{dy}=\sqrt{{\frac{y}{2a-y}}</math> 를 얻는다.
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(미분방정식의 여러 해에 대한 논의는 http://whistleralley.com/brachistochrone/brachistochrone.htm)
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 <math>x=\int_{0}^{y}\sqrt{\frac{y}{2a-y}}dy</math>
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<math>y=2a\sin^2\frac{\theta}{2}=a(1-\cos\theta)</math>로 치환하면, <math>x=a(\theta-\sin\theta)</math>를 얻는다.
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여기서 상수 a는 주어진 점 <math>(x_1,y_1)</math>를 지날 수 있는 값으로 결정된다.
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따라서 사이클로이드를 얻었다.■
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<h5>관련동영상</h5>
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<h5>재미있는 사실</h5>
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Half-pipe ?
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* Half-Pipe Skateboarding ?
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* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
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<h5>역사</h5>
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
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<h5>메모</h5>
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<h5>관련된 항목들</h5>
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*  Brachistochrone curve<br>
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** brachistos - the shortest, chronos - time
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** 최단시간강하 곡선, 최속강하선, 최단강하선
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* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
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* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
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** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
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* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
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* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
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<h5>사전 형태의 자료</h5>
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone_problem
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
 +
* http://www.proofwiki.org/wiki/
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
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** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
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<h5>관련논문</h5>
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
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* http://www.ams.org/mathscinet
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* http://dx.doi.org/
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<h5>관련도서</h5>
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* http://books.google.com/books?id=dptKVr-5LJAC&pg=PA223&sig=PVA7Q1U_MyXinobyhOf54BwjShQ&hl=en#v=onepage&q&f=false
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*  도서내검색<br>
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** http://books.google.com/books?q=
 +
** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 +
*  도서검색<br>
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** http://books.google.com/books?q=
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
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<h5>관련기사</h5>
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*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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<h5>링크</h5>
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* [http://curvebank.calstatela.edu/brach/brach.htm The Brachistochrone]
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*  구글 블로그 검색<br>
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** http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
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* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]
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* [http://www.ams.org/mathmoments/ Mathematical Moments from the AMS]
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* [http://betterexplained.com/ BetterExplained]
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* [http://www.exampleproblems.com/ http://www.exampleproblems.com]

2010년 10월 3일 (일) 08:33 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 중력을 받고 있는 물체가 정지상태에서 출발하여 가장 짧은 시간내에 하강하기 위해서 따라야 하는 곡선
  • 1697년에 베르누이에 의하여 답이 출판
    [/pages/4402517/attachments/3980829 ParabNickF.gif]

 

 

[1]

곡선의 시작점을 \((x_0,y_0)=(0,0)\), 끝점을 \((x_1,y_1)\)라 두자.

곡선을 따라 내려올때 걸리는 시간은 다음과 같이 구할 수 있다.

\(t=\int \frac{1}{v} \, ds\)(v는 속력, ds 는 길이요소, t는 시간)

에너지 보존 법칙 \(mgy=\frac{1}{2}mv^2\)  에서\(v=\sqrt{2gy}\).

이제 곡선의 x좌표를 y의 함수로 생각하자. 곡선을 따라 내려올 때 걸리는 시간은

\(T=\int \frac{1}{v} \, ds=\frac{1}{\sqrt{2g}}\int_{0}^{y} \frac{\sqrt{1+x'(y)^2}}{\sqrt{y}} \, dy\)

문제의 정의에 따라 이 적분값을 최소가 되게 하는 곡선을 찾아야 한다.

\(F(y,x,x')=\frac{\sqrt{1+(x')^2}}{\sqrt{y}}\) 에 대하여 오일러-라그랑지 방정식 을 적용하면,

\(0 =\frac{\partial F}{\partial x} - \frac{d}{dy} \frac{\partial F}{\partial x'}=-\frac{d}{dy}(\frac{x'(y)}{\sqrt{y(1+x'(y)^2)}})\)

적당한 상수 a에 대하여 \(\frac{x'(y)}{\sqrt{y(1+x'(y)^2)}}=\frac{1}{\sqrt{2a}}\)라 두자.

이를 풀면 미분방정식  \(\frac{dx}{dy}=\sqrt{{\frac{y}{2a-y}}\) 를 얻는다.

(미분방정식의 여러 해에 대한 논의는 http://whistleralley.com/brachistochrone/brachistochrone.htm)

 \(x=\int_{0}^{y}\sqrt{\frac{y}{2a-y}}dy\)

\(y=2a\sin^2\frac{\theta}{2}=a(1-\cos\theta)\)로 치환하면, \(x=a(\theta-\sin\theta)\)를 얻는다.

여기서 상수 a는 주어진 점 \((x_1,y_1)\)를 지날 수 있는 값으로 결정된다.

따라서 사이클로이드를 얻었다.■

 

 

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