"타원 둘레의 길이"의 두 판 사이의 차이

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*  타원  <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>의 둘레의 길이는 다음과 주어짐.<br>
 
*  타원  <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>의 둘레의 길이는 다음과 주어짐.<br>
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*  매개화<br><math>x=a \sin \theta</math>, <math>y=a \cos \theta</math>, <math>0\leq \theta \leq 2\pi</math><br>
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*  매개화<br>
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** <math>x=a \sin \theta</math>, <math>y=a \cos \theta</math>, <math>0\leq \theta \leq 2\pi</math><br>
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<math>4\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}d\theta=4\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sqrt{a^2+(b^2-a^2)\sin^2\theta}d\theta</math>
 
<math>4\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}d\theta=4\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sqrt{a^2+(b^2-a^2)\sin^2\theta}d\theta</math>
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* [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 곡선의 길이와 타원적분]]<br>
 
* [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 곡선의 길이와 타원적분]]<br>
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* [[제2종타원적분 E (complete elliptic integral of the second kind)]]<br>
 
* [[타원]]<br>
 
* [[타원]]<br>
  

2010년 6월 10일 (목) 03:11 판

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개요
  • 초등함수를 사용하여 닫힌형태로 표현할 수 없고, 타원적분이 필요하다
  • 역사적으로 타원의 둘레의 길이를 구하는 적분에서 타원적분의 이름이 붙여짐

 

 

타원 둘레 길이의 유도
  • 타원  \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)의 둘레의 길이는 다음과 주어짐.
  • 매개화
    • \(x=a \sin \theta\), \(y=a \cos \theta\), \(0\leq \theta \leq 2\pi\)

 

\(4\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}d\theta=4\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sqrt{a^2+(b^2-a^2)\sin^2\theta}d\theta\)

\(=4\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}a\sqrt{1-(1-\frac{b^2}{a^2})\sin^2\theta}d\theta=4a\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}d\theta=4aE(k)\)

 \(k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)

\(E(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\)

 

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