"Longest element of Weyl groups"의 두 판 사이의 차이

2012년 12월 22일 (토) 02:35 판

\(\Sigma\) : 루트시스템의 fundamental system
루트시스템 \(\Delta=\Delta^{+}\sqcup\Delta^{-}\)
바일 군의 원소 중에서 length가 가장 큰 원소 \(w_\circ\)
- \(\ell(w_{\circ})=N=|\Delta^{+}|\)
- length에 가장 큰 조건은 이러한 원소를 유일하게 결정함
루트 시스템의 positive system 을 negative system으로 보낸다
다음의 루트 시스템에 대해, non-trivial diagram automorphism 을 얻을 수 있다
- \(A_n, n\in \mathbb{Z}\)
- \(E_6\)
- \(D_n, n\in 2\mathbb{Z}+1\)
특별한 콕세터 원소(Coxeter element) 의 곱으로 얻어짐

\(w_\circ=s_1s_2s_1\) 가 longest element
\(\left\{\alpha _1,\alpha _2\right\}\)를 \(\left\{-\alpha _2,-\alpha _1\right\}\)로 보낸다

\(w_\circ=s_2s_1s_3s_2s_1s_3\) 가 longest element
\(\left\{\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3\right\}\)를 \(\left\{-\alpha _3,-\alpha _2,-\alpha _1\right\}\)로 보낸다

longest element 는 \(w_{\circ}=s_1s_3s_2s_4s_5s_1s_3s_2s_4s_5s_1s_3s_2s_4s_5s_1s_3s_2s_4s_5\)
\(\left\{\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3,\alpha _4,\alpha _5\right\}\)를 \(\left\{-\alpha _1,-\alpha _2,-\alpha _3,-\alpha _5,-\alpha _4\right\}\)로 보낸다

@@ 16번째 줄: / 16번째 줄: @@
 ** <math>A_n, n\in \mathbb{Z}</math>
 ** <math>E_6</math>
-** <math>D_n, n\in 2\mathbb{Z}</math>
+** <math>D_n, n\in 2\mathbb{Z}+1</math>
 * 특별한 [[콕세터 원소(Coxeter element)]] 의 곱으로 얻어짐
@@ 24번째 줄: / 24번째 줄: @@
 ==<math>A_2</math> 의 예==
 * <math>w_\circ=s_1s_2s_1</math>  가 longest element
 * <math>\left\{\alpha _1,\alpha _2\right\}</math>를 <math>\left\{-\alpha _2,-\alpha _1\right\}</math>로 보낸다
@@ 33번째 줄: / 32번째 줄: @@
 ==<math>A_3</math> 의 예==
 * <math>w_\circ=s_2s_1s_3s_2s_1s_3</math> 가 longest element
 * <math>\left\{\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3\right\}</math>를 <math>\left\{-\alpha _3,-\alpha _2,-\alpha _1\right\}</math>로 보낸다
 ==<math>D_5</math> 의 예==
 * longest element 는 <math>w_{\circ}=s_1s_3s_2s_4s_5s_1s_3s_2s_4s_5s_1s_3s_2s_4s_5s_1s_3s_2s_4s_5</math>
 * <math>\left\{\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3,\alpha _4,\alpha _5\right\}</math>를 <math>\left\{-\alpha _1,-\alpha _2,-\alpha _3,-\alpha _5,-\alpha _4\right\}</math>로 보낸다