응집 전이의 분배함수 증명

이웃한 자리 사이의 상호작용이 존재하여 더이상 '영거리' 과정이라고 부를 수 없는;;; 이 모형을 뭐라 불러야 하나 궁금해서 논문을 보니 별 말이 없네요. '응집 전이(condensation transition)'라고 제목을 달았지만 '물질 수송(mass transport)' 모형이라든지 하는 말들도 있는 듯 합니다. 여튼 앞 글에서 분배함수 구하는 걸 증명 없이 썼는데, 이 글에서는 간단히 증명해보려고 합니다.

\(Z_N(z)=\sum_{m_1,\cdots,m_N}T_{m_1m_2}T_{m_2m_3}\cdots T_{m_Nm_1}={\rm Tr}\ T(z)^N\)

\(T_{mn}=z^{(m+n)/2}g(m,n)\)

분배함수를 T^N의 대각합(trace)으로 쓸 수 있는데, 모양이 꼭 1차원 이징 모형의 분배함수 같죠. 이징 모형을 풀 때 저런 T를 '전달행렬(transfer matrix)'이라 불렀습니다. 행렬 T의 m,n 위치에 있는 원소를 다음처럼 나타낼 수 있습니다.

\(T_{mn}=\langle m|T|n\rangle,\ \sum_m|m\rangle \langle m|=1,\ \langle m|n\rangle=\delta_{mn}\)

그러면,

\(& &\sum_{\{m_i\}}T_{m_1m_2}T_{m_2m_3}\cdots T_{m_Nm_1}\\ &=&\sum_{\{m_i\}}\langle m_1|T|m_2\rangle \langle m_2|T|m_3\rangle\cdots\langle m_N|T|m_1\rangle\\ &=&\sum_{m_1}\langle m_1|T^N|m_1\rangle={\rm Tr}\ T^N\)

 

이렇게 됩니다. 다음으로 m의 분포함수를 보겠습니다.

\(\pi(m)=\frac{1}{Z_N(z)}\sum_{m_2,\cdots,m_N}T_{mm_2}T_{m_2m_3}\cdots T_{m_Nm}\)

위와 같은 방식으로 정리해주면 다음 결과가 나옵니다.

\(\sum_{m_2,\cdots,m_N}T_{mm_2}T_{m_2m_3}\cdots T_{m_Nm}=\langle m|T^N|m\rangle\)

이제 T의 고유값과 고유벡터를 모두 구했다고 합시다.

 

\(T\vec\phi=\lambda_{\rm max}\vec\phi,\ \vec\phi=\{\phi_0,\phi_1,\cdots,\phi_m,\cdots\}\)

\(Z_N(z)\simeq \lambda_{\rm max}^N,\ \pi(m)=\phi_m^2,\ \rho_c=\sum_m m\phi_m^2\)