XY 모형

\(H=-J\sum_{\langle ij\rangle}\vec S_i\cdot\vec S_j\)

위와 같은 하이젠베르크 모형에서 스핀을 2차원 평면 격자 위의 고전적 스핀으로 생각하겠습니다.

\(\vec S_i=(\cos\phi_i,\sin\phi_i,0)\to H=-J\sum_{\langle ij\rangle}\cos(\phi_i-\phi_j)\)

이걸 XY 모형이라고 부릅니다. XY 평면 위에서 정의된 스핀이라 그렇게 이름이 붙여진 것 같네요. 온도가 매우 낮아서 스핀들이 거의 같은 방향이라고 합시다. 그럼 코사인 항을 전개할 수 있습니다.

\(H=-\frac{qNJ}{2}+\frac{J}{2}\sum_{\langle ij\rangle}(\phi_i-\phi_j)^2=E_0+\frac{J}{2a^{d-2}}\int d^dr\nabla\phi\cdot\nabla\phi\)

보시다시피 해밀토니안의 첫번째 항은 변수 φ와 무관하므로 그냥 상수로 처리했습니다. q는 이웃수입니다. 두번째 항은 이웃한 두 스핀의 각도 차이입니다. 두번째 항은 지난 글에서 소개한 띄엄띄엄 가우스 모형(DG)과 매우 비슷한 모양입니다. 차이가 있다면 DG에서 h는 음의 무한대부터 양의 무한대까지의 정수였지만 여기서 φ는 0과 2π 사이의 실수이며 0과 2π는 같다고 칩니다. 두 가지 차이가 있죠. 연속이냐 아니냐, 순환이냐 아니냐.

모양만 보면 XY 모형에 적절히 퓨개서티를 도입하여 사인-고든 모형으로 변형할 수 있을 것 같습니다. 사실 지난 겨울학교에서도 배웠는데요, 여러 논문들에서도 2차원 XY 모형과 2차원 쿨롱 기체(Coulomb gas; CG) 모형과 2차원 사인-고든 모형(SG)이 동등하거나(equivalent) 비슷하다(analogous)고들 합니다. 이

여튼 이 두번째 항에서 격자 위의 스핀을 연속적인 공간 위의 스핀으로 바꾸면 위 식의 마지막 항이 나옵니다. 일단 일반적인 d차원 공간이라고 생각했고 a는 격자 상수입니다. 이로부터 다음처럼 정의된 상관함수를 구합니다.

\(g(r)\equiv \langle e^{i[\phi(r)-\phi(0)]}\rangle\sim r^{-\eta(T)}\ \textrm{for}\ d=2\)

상관함수가 r에 대해 지수함수로 줄어들지 않고 r의 거듭제곱 꼴로 줄어듭니다. 또한 그 지수는 온도의 함수입니다.