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* 라마누잔이 제시한 문제<br><math>\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\cdots}}}}} = 3</math><br><br> | * 라마누잔이 제시한 문제<br><math>\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\cdots}}}}} = 3</math><br><br> | ||
| + | * 수열<br><math>1,\sqrt{1+2 },\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 }},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 }}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 }}}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 \sqrt{1+6 }}}}}, \cdots</math><br> 의 극한이 3이 됨<br> | ||
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<h5>증명</h5> | <h5>증명</h5> | ||
| − | + | 먼저 수렴성을 증명하자. 다음과 같이 정의된 수열 | |
| − | <math>\ | + | <math>1,\sqrt{1+2 },\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 }},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 }}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 }}}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 \sqrt{1+6 }}}}}, \cdots</math> 은 위로 유계이다. |
| − | + | <math>\sqrt{1+2 \sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+ (n-1)\sqrt{1+n} }}} \leq \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\cdot6}}}</math> | |
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| + | <math>n=\sqrt{1+(n-1)(n+1)}</math>을 이용 | ||
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| + | <math>\begin{eqnarray*}3 &=& \sqrt{1+2\cdot4}\\ &=& \sqrt{1+2\sqrt{1+3\cdot5}}\\ &=& \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\cdot6}}}\\ &=& \cdots\end{eqnarray*}</math> | ||
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<h5>수열의 크기 변화를 나타내는 그래프</h5> | <h5>수열의 크기 변화를 나타내는 그래프</h5> | ||
2009년 11월 29일 (일) 14:26 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 라마누잔이 제시한 문제
\(\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\cdots}}}}} = 3\) - 수열
\(1,\sqrt{1+2 },\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 }},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 }}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 }}}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 \sqrt{1+6 }}}}}, \cdots\)
의 극한이 3이 됨
증명
먼저 수렴성을 증명하자. 다음과 같이 정의된 수열
\(1,\sqrt{1+2 },\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 }},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 }}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 }}}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 \sqrt{1+6 }}}}}, \cdots\) 은 위로 유계이다.
\(\sqrt{1+2 \sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+ (n-1)\sqrt{1+n} }}} \leq \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\cdot6}}}\)
\(n=\sqrt{1+(n-1)(n+1)}\)을 이용
\(\begin{eqnarray*}3 &=& \sqrt{1+2\cdot4}\\ &=& \sqrt{1+2\sqrt{1+3\cdot5}}\\ &=& \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\cdot6}}}\\ &=& \cdots\end{eqnarray*}\)
수열의 크기 변화를 나타내는 그래프
\(1,\sqrt{1+2 },\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 }},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 }}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 }}}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 \sqrt{1+6 }}}}}, \cdots\)
[/pages/2529712/attachments/2586699 nested_radicals.jpg]
매쓰매티카 코드
- f[n_][x_]:=Sqrt[1+n*x]
a[1][x_]:=x
a[n_][x_]:=Composition[a[n-1],f[n]][x]
Table[a[n][x],{n,1,6}]
DiscretePlot[a[n][1],{n,1,50}]
- 결과
\(\left\{x,\sqrt{1+2 x},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 x}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 x}}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 x}}}},\sqrt{1+2 \sqrt{1+3 \sqrt{1+4 \sqrt{1+5 \sqrt{1+6 x}}}}}\right\}\)
관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들
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