"렘니스케이트 곡선의 등분 (Lemniscatomy)"의 두 판 사이의 차이

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*  관계식<br><math>s (x)^2+c (x)^2+c (x)^2 s (x)^2=1</math><br>
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*  덧셈공식<br><math>s(x+y)=\frac{s(x) c(y)+c(x) s(y)}{1-s(x) c(x) s(y) c(y)}</math><br>
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* 렘니스케이트 사인함수 <math>x=\phi(t)</math>는 타원적분 <math>t=\int_{0}^{x}\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}</math> 의 역함수로 정의된다
 
* 렘니스케이트 사인함수 <math>x=\phi(t)</math>는 타원적분 <math>t=\int_{0}^{x}\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}</math> 의 역함수로 정의된다
 
* <math>m\in\mathbb{Z}[i]</math> 에 대하여, <math>y=\phi(mt)</math> 로 두면, <math>mt=\int_{0}^{y}\frac{dy}{\sqrt{1-y^4}}</math> 을 만족한다
 
* <math>m\in\mathbb{Z}[i]</math> 에 대하여, <math>y=\phi(mt)</math> 로 두면, <math>mt=\int_{0}^{y}\frac{dy}{\sqrt{1-y^4}}</math> 을 만족한다
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* <math>x=\phi(t)</math>와 <math>y=\phi(mt)</math>는<br><math>\frac{dy}{\sqrt{1-x^4}}=m\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}</math> 의 관계를 만족한다<br>
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*  렘니스케이트 사인함수의 덧셈공식<br><math>\phi(t+t')=\frac{\phi(t)\sqrt{1-\phi(t')^4}+\phi(t')\sqrt{1-\phi(t)^4}}{1+\phi(t)^2\phi(t')^2}</math><br>
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* <math>\phi(z)</math> 는 다음 [[자코비 타원함수]] 와 같다<br><math>\text{sn}(z|-1)=z-\frac{z^5}{10}+\frac{z^9}{120}-\frac{11 z^{13}}{15600}+\frac{211 z^{17}}{3536000}+O\left(z^{21}\right)</math><br>
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* <math>\phi(z)</math> 는 다음 [[자코비 타원함수]] 와 같다:<math>\text{sn}(z|-1)=z-\frac{z^5}{10}+\frac{z^9}{120}-\frac{11 z^{13}}{15600}+\frac{211 z^{17}}{3536000}+O\left(z^{21}\right)</math><br>
  
 
   
 
   
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* 위의 식으로부터 <math>\phi^8+6\phi^4-3=0</math> 의 해를 구하면, 렘니스케이트의 삼등분점을 구할 수 있다
 
* 위의 식으로부터 <math>\phi^8+6\phi^4-3=0</math> 의 해를 구하면, 렘니스케이트의 삼등분점을 구할 수 있다
 
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*  세 점의 좌표는 다음과 같이 주어진다:<math>\left(0,0\right)</math>:<math>\left(\sqrt{\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{-3+2 \sqrt{3}}\right)},\sqrt{\frac{1}{2} \left(1-\sqrt{-3+2 \sqrt{3}}\right)}\right)</math>:<math>\left(\sqrt{\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{-3+2 \sqrt{3}}\right)},-\sqrt{\frac{1}{2} \left(1-\sqrt{-3+2 \sqrt{3}}\right)}\right)</math><br>
  
 
==5등분점==
 
==5등분점==

2013년 1월 12일 (토) 09:31 판

개요

렘니스케이트 사인과 코사인

  • 렘니스케이트 사인\[x=\int_{0}^{s}\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\]
  • 렘니스케이트 코사인\[x=\int_{c}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\]
  • 관계식\[s (x)^2+c (x)^2+c (x)^2 s (x)^2=1\]
  • 덧셈공식\[s(x+y)=\frac{s(x) c(y)+c(x) s(y)}{1-s(x) c(x) s(y) c(y)}\]



렘니스케이트 타원함수

  • 렘니스케이트 사인함수 \(x=\phi(t)\)는 타원적분 \(t=\int_{0}^{x}\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\) 의 역함수로 정의된다
  • \(m\in\mathbb{Z}[i]\) 에 대하여, \(y=\phi(mt)\) 로 두면, \(mt=\int_{0}^{y}\frac{dy}{\sqrt{1-y^4}}\) 을 만족한다
  • \(x=\phi(t)\)와 \(y=\phi(mt)\)는\[\frac{dy}{\sqrt{1-x^4}}=m\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\] 의 관계를 만족한다
  • 렘니스케이트 사인함수의 덧셈공식\[\phi(t+t')=\frac{\phi(t)\sqrt{1-\phi(t')^4}+\phi(t')\sqrt{1-\phi(t)^4}}{1+\phi(t)^2\phi(t')^2}\]
  • \(\phi(z)\) 는 다음 자코비 타원함수 와 같다\[\text{sn}(z|-1)=z-\frac{z^5}{10}+\frac{z^9}{120}-\frac{11 z^{13}}{15600}+\frac{211 z^{17}}{3536000}+O\left(z^{21}\right)\]



Lemniscatomy

  • 삼각함수의 삼각함수의 배각공식 에 비유하면 적당하다
  • 렘니스케이트 타원함수의 덧셈공식으로부터 유도할 수 있다



3등분점

  • 렘니스케이트의 삼등분\[\phi(3\alpha)=-\phi\frac{\phi^8+6\phi^4-3}{1+6\phi^4-3\phi^8}\]
  • 위의 식으로부터 \(\phi^8+6\phi^4-3=0\) 의 해를 구하면, 렘니스케이트의 삼등분점을 구할 수 있다

렘니스케이트 곡선과 Lemniscatomy1.gif

  • 세 점의 좌표는 다음과 같이 주어진다\[\left(0,0\right)\]\[\left(\sqrt{\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{-3+2 \sqrt{3}}\right)},\sqrt{\frac{1}{2} \left(1-\sqrt{-3+2 \sqrt{3}}\right)}\right)\]\[\left(\sqrt{\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{-3+2 \sqrt{3}}\right)},-\sqrt{\frac{1}{2} \left(1-\sqrt{-3+2 \sqrt{3}}\right)}\right)\]

5등분점

렘니스케이트 곡선과 Lemniscatomy2.gif

\[\left(\frac{\left(-13+6 \sqrt{5}-2 \sqrt{85-38 \sqrt{5}}\right)^{1/4} \sqrt{1+\sqrt{-13+6 \sqrt{5}-2 \sqrt{85-38 \sqrt{5}}}}}{\sqrt{2}},\frac{\left(-13+6 \sqrt{5}-2 \sqrt{85-38 \sqrt{5}}\right)^{1/4} \sqrt{1-\sqrt{-13+6 \sqrt{5}-2 \sqrt{85-38 \sqrt{5}}}}}{\sqrt{2}}\right)\]

 

 

역사



메모



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