"외대수(exterior algebra)와 다중선형대수(multilinear algebra)"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) 잔글 (찾아 바꾸기 – “<br><math>” 문자열을 “:<math>” 문자열로) |
||
| 42번째 줄: | 42번째 줄: | ||
* <math>\Lambda^k(V)^{*}\simeq\Lambda^k(V^{*})</math> | * <math>\Lambda^k(V)^{*}\simeq\Lambda^k(V^{*})</math> | ||
| − | * <math>v_1,\cdots, v_k \in V</math>, <math>f_1,\cdots, f_k \in V^{*}</math> 에 대하여, 다음과 같은 isomorphism <math>\Lambda^k(V^{*})\to \Lambda^k(V)^{*}</math>을 정의할 수 있다 | + | * <math>v_1,\cdots, v_k \in V</math>, <math>f_1,\cdots, f_k \in V^{*}</math> 에 대하여, 다음과 같은 isomorphism <math>\Lambda^k(V^{*})\to \Lambda^k(V)^{*}</math>을 정의할 수 있다:<math>\langle v_1\wedge\cdots\wedge v_k, f_1\wedge\cdots\wedge f_k\rangle=\det(\langle v_i,f_j\rangle)</math><br> |
| 51번째 줄: | 51번째 줄: | ||
* 외대수의 쌍대 공간을 생각하는 또다른 방식 <math>\Lambda^k(V)^{*}\simeq A^k(V)</math> | * 외대수의 쌍대 공간을 생각하는 또다른 방식 <math>\Lambda^k(V)^{*}\simeq A^k(V)</math> | ||
| − | * 교대 겹선형 k-형식(k-alternating form) | + | * 교대 겹선형 k-형식(k-alternating form):<math>f:V^k\to{\mathbb R},\qquad f(v_{\sigma(1),\cdots,v_{\sigma(k)}})=(\text{sgn}\sigma)f(v_1,\cdots,v_k) \quad\text{for all} \quad\sigma\in S_k.</math><br> |
* <math>A^k(V)</math> : the set of k-alternating forms on V | * <math>A^k(V)</math> : the set of k-alternating forms on V | ||
* <math>A(V) = A^0(V)\oplus A^1(V) \oplus A^2(V) \oplus \cdots \oplus A^n(V)</math> | * <math>A(V) = A^0(V)\oplus A^1(V) \oplus A^2(V) \oplus \cdots \oplus A^n(V)</math> | ||
| − | * wedge product | + | * wedge product:<math>\omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}\operatorname{Alt}(\omega\otimes\eta)</math><br> 여기서 <math>\operatorname{Alt}(\omega)(x_1,\ldots,x_k)=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(k)}).</math><br> |
| − | * [[(p,q)-셔플(shuffle)|(p,q)-shuffle]] 을 이용한 정의 | + | * [[(p,q)-셔플(shuffle)|(p,q)-shuffle]] 을 이용한 정의:<math>\omega \wedge \eta(x_1,\ldots,x_{k+m}) = \sum_{\sigma \in Sh_{k,m}} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \ldots, x_{\sigma(k+m)}),</math><br> |
2013년 1월 12일 (토) 10:03 판
개요
- \(\Lambda(V)\) : alternating algebra, exterior algebra, 그라스만 대수 라는 이름으로 불림
- 기하학에서 미분형식 을 정의하기 위한 대수적 장치
- 클리포드 대수 는 외대수의 일반화로 볼 수 있다
텐서 공간
- V : 유한차원 벡터공간
- \(V^{*}\) : V의 쌍대공간
- \(T=V\otimes \cdots \otimes V \cdots \otimes V^{*}\cdots \otimes V^{*}\) : 텐서공간
- \(T\) 의 원소를 텐서라 부른다
- \(V, V^{*}\) 에 대한 multilinear function 으로 이해할 수 있다
텐서 대수 tensor algebra
- \(T(V)\)
외대수 exterior algebra
- 정의 \(\Lambda(V) := T(V)/I\)
- \(\Lambda(V) = \Lambda^0(V)\oplus \Lambda^1(V) \oplus \Lambda^2(V) \oplus \cdots \oplus \Lambda^n(V)\)
- \(\alpha\in \Lambda^k(V), \beta\in \Lambda^p(V)\) 에 대하여 \(\alpha\wedge\beta = (-1)^{kp}\beta\wedge\alpha\) 가 성립한다
외대수의 쌍대 공간
- \(\Lambda^k(V)^{*}\simeq\Lambda^k(V^{*})\)
- \(v_1,\cdots, v_k \in V\), \(f_1,\cdots, f_k \in V^{*}\) 에 대하여, 다음과 같은 isomorphism \(\Lambda^k(V^{*})\to \Lambda^k(V)^{*}\)을 정의할 수 있다\[\langle v_1\wedge\cdots\wedge v_k, f_1\wedge\cdots\wedge f_k\rangle=\det(\langle v_i,f_j\rangle)\]
교대 겹선형 형식 alternating multilinear form과 외대수의 쌍대 공간
- 외대수의 쌍대 공간을 생각하는 또다른 방식 \(\Lambda^k(V)^{*}\simeq A^k(V)\)
- 교대 겹선형 k-형식(k-alternating form)\[f:V^k\to{\mathbb R},\qquad f(v_{\sigma(1),\cdots,v_{\sigma(k)}})=(\text{sgn}\sigma)f(v_1,\cdots,v_k) \quad\text{for all} \quad\sigma\in S_k.\]
- \(A^k(V)\) : the set of k-alternating forms on V
- \(A(V) = A^0(V)\oplus A^1(V) \oplus A^2(V) \oplus \cdots \oplus A^n(V)\)
- wedge product\[\omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}\operatorname{Alt}(\omega\otimes\eta)\]
여기서 \(\operatorname{Alt}(\omega)(x_1,\ldots,x_k)=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(k)}).\) - (p,q)-shuffle 을 이용한 정의\[\omega \wedge \eta(x_1,\ldots,x_{k+m}) = \sum_{\sigma \in Sh_{k,m}} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \ldots, x_{\sigma(k+m)}),\]
역사
메모
- http://www.auburn.edu/~tamtiny/math7970-11f.html
- http://math.stackexchange.com/questions/157528/wedgekv-cong-mathrmaltkv?rq=1
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
- 한국물리학회 물리학 용어집 검색기
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxcTk3QjV5U09pbDA/edit
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
- 매스매티카 파일 목록
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/다중선형대수학
- http://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_algebra
- Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
리뷰논문, 에세이, 강의노트