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* <math>\zeta(2) ={\pi^2}/{6}</math> 의 계산을 다음 이중적분을 이용해 할 수 있다<br><math>\int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy </math><br>
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* <math>\zeta(2) ={\pi^2}/{6}</math> 의 계산을 다음 이중적분을 이용해 할 수 있다:<math>\int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy </math><br>
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*  또 다른 이중적분<br><math>\int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x y}dxdy </math><br> 도 사용할 수 있는데, 이는 [[다이로그 함수(dilogarithm)]] 와 관계있다<br>
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*  또 다른 이중적분:<math>\int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x y}dxdy </math><br> 도 사용할 수 있는데, 이는 [[다이로그 함수(dilogarithm)]] 와 관계있다<br>
  
 
 
 
 

2013년 1월 12일 (토) 10:11 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

  • \(\zeta(2) ={\pi^2}/{6}\) 의 계산을 다음 이중적분을 이용해 할 수 있다\[\int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy \]
  • 또 다른 이중적분\[\int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x y}dxdy \]
    도 사용할 수 있는데, 이는 다이로그 함수(dilogarithm) 와 관계있다

 

 

단계 1

\(I = \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy = \frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}+\cdots\) 임을 먼저 보이자.

\(\int_{0}^{1} \frac{1}{1-y^2 x^2} \, dx = \frac{\tanh ^{-1}(y)}{y}=1+\frac{y^2}{3}+\frac{y^4}{5}+\frac{y^6}{7}+\frac{y^8}{9}+\frac{y^{10}}{11}+\cdots\) 이므로

\(I = \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy = \frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}+\cdots\) 가 성립한다.

 

 

단계 2

\(I = \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy\) 에서 \(x=\sin (u) \sec (v)\), \(y=\sec (u) \sin (v)\) 로 치환을 하자.

자코비안은 다음과 같다.

\(\left|\left( \begin{array}{cc} \cos (u) \sec (v) & \sin (u) \tan (v) \sec (v) \\ \tan (u) \sec (u) \sin (v) & \sec (u) \cos (v) \end{array} \right)\right|=1-\tan ^2(u) \tan ^2(v)\)

\(I=\int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{\pi/2-v} \frac{1}{1-\tan ^2(u) \tan ^2(v)}\left(1-\tan ^2(u) \tan ^2(v)\right) dudv =\frac{\pi ^2}{8}\)

 

 

단계 3

\(I = \frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}+\cdots = \frac{3}{4}\zeta(2)\) 임을 보이자.

(증명)

\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}+\frac{1}{10^2}+\cdots = \frac{1}{4}\zeta(2)\)

따라서

\(\zeta(2) = I + \frac{1}{4}\zeta(2)\) ■

 

 

 

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