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==원분다항식 목록==
 
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<math>\begin{array}{l|ll}  &  $\phi (n) & \phi _n(x) \\ \hline  1 & 1 & -1+x \\  2 & 1 & 1+x \\  3 & 2 & 1+x+x^2 \\  4 & 2 & 1+x^2 \\  5 & 4 & 1+x+x^2+x^3+x^4 \\  6 & 2 & 1-x+x^2 \\  7 & 6 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6 \\  8 & 4 & 1+x^4 \\  9 & 6 & 1+x^3+x^6 \\  10 & 4 & 1-x+x^2-x^3+x^4 \\  11 & 10 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10} \\  12 & 4 & 1-x^2+x^4 \\  13 & 12 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12} \\  14 & 6 & 1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6 \\  15 & 8 & 1-x+x^3-x^4+x^5-x^7+x^8 \\  16 & 8 & 1+x^8 \\  17 & 16 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12}+x^{13}+x^{14}+x^{15}+x^{16} \\  18 & 6 & 1-x^3+x^6 \\  19 & 18 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12}+x^{13}+x^{14}+x^{15}+x^{16}+x^{17}+x^{18} \\  20 & 8 & 1-x^2+x^4-x^6+x^8 \end{array}</math>
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<math>\begin{array}{l|ll}  &  \phi (n) & \phi _n(x) \\ \hline  1 & 1 & -1+x \\  2 & 1 & 1+x \\  3 & 2 & 1+x+x^2 \\  4 & 2 & 1+x^2 \\  5 & 4 & 1+x+x^2+x^3+x^4 \\  6 & 2 & 1-x+x^2 \\  7 & 6 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6 \\  8 & 4 & 1+x^4 \\  9 & 6 & 1+x^3+x^6 \\  10 & 4 & 1-x+x^2-x^3+x^4 \\  11 & 10 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10} \\  12 & 4 & 1-x^2+x^4 \\  13 & 12 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12} \\  14 & 6 & 1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6 \\  15 & 8 & 1-x+x^3-x^4+x^5-x^7+x^8 \\  16 & 8 & 1+x^8 \\  17 & 16 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12}+x^{13}+x^{14}+x^{15}+x^{16} \\  18 & 6 & 1-x^3+x^6 \\  19 & 18 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12}+x^{13}+x^{14}+x^{15}+x^{16}+x^{17}+x^{18} \\  20 & 8 & 1-x^2+x^4-x^6+x^8 \end{array}</math>
  
 
 
 
 

2013년 1월 14일 (월) 14:18 판

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개요

 

 

정의

  • \(\Phi_n(X) = \prod_\omega (X-\omega)\)
    • 여기서 \(\omega\)는 primitive n-th root of unity (단위근)
  • 차수는 오일러의 totient 함수 를 사용하여 \(\varphi(n)\) 로 표현됨
  • \(x^n-1= \prod_{d|n}\Phi_d(x)\)

 

 

원분다항식의 상호법칙

  • \(\Phi_n(x) \pmod p\) 가 어떤 소수 \(p\) 에 대해 어떻게 분해되는가의 문제

 

(정리)

\(p\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)의 order가 \(r\)이라 하자. 즉 r이 \(p^r=1\pmod n\) 을 만족시키는 가장 작은 자연수라 하자.

그러면 \(\Phi_n(x) \pmod p\) 는 차수가 r인 기약다항식들의 곱으로 표현된다. 즉 \(\Phi_n(x) \pmod p\)의 분해는, \(p\pmod n\)에 의해 결정된다.

 

(따름정리)

\(n | p-1\)  \(\iff\)  \(\Phi_n(x) \pmod p\)는 일차식들로 분해된다

 

 

원분다항식 목록

\(\begin{array}{l|ll} & \phi (n) & \phi _n(x) \\ \hline 1 & 1 & -1+x \\ 2 & 1 & 1+x \\ 3 & 2 & 1+x+x^2 \\ 4 & 2 & 1+x^2 \\ 5 & 4 & 1+x+x^2+x^3+x^4 \\ 6 & 2 & 1-x+x^2 \\ 7 & 6 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6 \\ 8 & 4 & 1+x^4 \\ 9 & 6 & 1+x^3+x^6 \\ 10 & 4 & 1-x+x^2-x^3+x^4 \\ 11 & 10 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10} \\ 12 & 4 & 1-x^2+x^4 \\ 13 & 12 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12} \\ 14 & 6 & 1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6 \\ 15 & 8 & 1-x+x^3-x^4+x^5-x^7+x^8 \\ 16 & 8 & 1+x^8 \\ 17 & 16 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12}+x^{13}+x^{14}+x^{15}+x^{16} \\ 18 & 6 & 1-x^3+x^6 \\ 19 & 18 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12}+x^{13}+x^{14}+x^{15}+x^{16}+x^{17}+x^{18} \\ 20 & 8 & 1-x^2+x^4-x^6+x^8 \end{array}\)

 

역사

 

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

사전형태의 참고자료

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