"원의 방정식"의 두 판 사이의 차이
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| + | 원의 방정식은 쉽게 생각해 좌표평면에서의 원을 방정식으로 바꾼것이라 보면 된다. 앞의 직선의 방정식을 충실히 공부했다면 그리 어렵지않으니 미리 겁부터 먹지 말자. 먼저 임의의 점 $O(a,b)$와 $P(x,y)$가 있을때 두 점사이의 거리를 r이라고 하자. 그럼 전 단원에서 배운 두점 사이의 거리구하는 공식으로 r을 구한다면 다음 식을 얻는다 | ||
| + | :<math>\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}=r</math> | ||
| + | 이 때 양 변을 한번 제곱해보자. 그러면 다음을 얻는다. | ||
| + | :<math>(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}</math> | ||
| + | 위의 식을 원의 방정식의 표준형이라고 한다. | ||
| − | + | ===일반형=== | |
| + | 이제부터 일반형을 찾아보도록 하자. 표준형 <math>(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}</math>에서 좌변을 모두 풀어 헤치면 다음 식을 얻는다. | ||
| + | :<math>x^{2}-2ax+a^{2}+y^{2}-2by+b^{2}=r^{2}</math> | ||
| − | + | 우변을 좌변으로 옮겨서 깔끔하게 보이게 해보자.. | |
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| + | 요런 깔끔한 식이 나온다.. 이제 두고두고 보기쉽게 치환만 해준다면 끝이다. | ||
| − | + | 먼저 $A=-2a,B=-2b, C=a^{2}+b^{2}-r^{2}$로 치환을 해보자. | |
| − | + | 그러면 다음과 같은 아까보다 훨씬 깔끔한 식을 얻는다 | |
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==응용하기== | ==응용하기== | ||
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먼저 표준형에서 '''원의 중심'''이 원점이고 '''반지름의 길이'''가 r일경우 | 먼저 표준형에서 '''원의 중심'''이 원점이고 '''반지름의 길이'''가 r일경우 | ||
| − | 원의 방정식은 <math>x^{2}+y^{2}=r^{2}</math>요렇게 된다.. 별거 아니지만 알아두면 | + | 원의 방정식은 <math>x^{2}+y^{2}=r^{2}</math>요렇게 된다.. 별거 아니지만 알아두면 도움이 된다 |
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| + | 다음으로 일반형으로 주어진 원의 방정식 <math>x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0</math> 에서 원의 중심은 다음과 같다 | ||
| + | :<math>(\frac{-A}{2},\frac{-B}{2})</math> | ||
| + | 그리고 이 때 '''반지름의 길이'''는 다음과 같이 표현 할수 있다 | ||
| + | :<math>r=\frac{\sqrt{{A^{2}}+{B^{2}}-{4C}}}{2}.</math> | ||
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* [[원주율(파이,π)|파이]] | * [[원주율(파이,π)|파이]] | ||
* [[이차곡선(원뿔곡선)|이차곡선]] | * [[이차곡선(원뿔곡선)|이차곡선]] | ||
| + | * [[완전제곱식 만들기]] | ||
2013년 3월 11일 (월) 08:49 판
개요
- 원의 방정식
- 표준형 \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\)
- 일반형 \(x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\)
원의 방정식
표준형
원의 방정식은 쉽게 생각해 좌표평면에서의 원을 방정식으로 바꾼것이라 보면 된다. 앞의 직선의 방정식을 충실히 공부했다면 그리 어렵지않으니 미리 겁부터 먹지 말자. 먼저 임의의 점 $O(a,b)$와 $P(x,y)$가 있을때 두 점사이의 거리를 r이라고 하자. 그럼 전 단원에서 배운 두점 사이의 거리구하는 공식으로 r을 구한다면 다음 식을 얻는다 \[\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}=r\] 이 때 양 변을 한번 제곱해보자. 그러면 다음을 얻는다. \[(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\] 위의 식을 원의 방정식의 표준형이라고 한다.
일반형
이제부터 일반형을 찾아보도록 하자. 표준형 \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\)에서 좌변을 모두 풀어 헤치면 다음 식을 얻는다. \[x^{2}-2ax+a^{2}+y^{2}-2by+b^{2}=r^{2}\]
우변을 좌변으로 옮겨서 깔끔하게 보이게 해보자..
그렇게 하면 \[x^{2}+y^{2}-2ax-2by+a^{2}+b^{2}-r^{2}=0\] 요런 깔끔한 식이 나온다.. 이제 두고두고 보기쉽게 치환만 해준다면 끝이다.
먼저 $A=-2a,B=-2b, C=a^{2}+b^{2}-r^{2}$로 치환을 해보자.
그러면 다음과 같은 아까보다 훨씬 깔끔한 식을 얻는다 \[x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\]
우리는 이 식을 원의 방정식의 일반형이라고 부른다.
응용하기
단위원의 방정식
먼저 표준형에서 원의 중심이 원점이고 반지름의 길이가 r일경우
원의 방정식은 \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)요렇게 된다.. 별거 아니지만 알아두면 도움이 된다
일반형에서 표준형을 구하기
다음으로 일반형으로 주어진 원의 방정식 \(x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\) 에서 원의 중심은 다음과 같다 \[(\frac{-A}{2},\frac{-B}{2})\] 그리고 이 때 반지름의 길이는 다음과 같이 표현 할수 있다 \[r=\frac{\sqrt{{A^{2}}+{B^{2}}-{4C}}}{2}.\]
완전제곱식 만들기 항목 참조
역사
- 수학사 연표
- 1637 - 데카르트가 방법서설을 출판
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스