"매듭이론 (knot theory)"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
1번째 줄: 1번째 줄:
 
==개요==
 
==개요==
  
−
*  매듭(knot)<br>
+
*  매듭(knot)
 
** 3차원 상에 놓인 원과 위상동형인 곡선, 또는 3차원 상에 놓인 자기자신과 만나지 않는 닫힌 곡선
 
** 3차원 상에 놓인 원과 위상동형인 곡선, 또는 3차원 상에 놓인 자기자신과 만나지 않는 닫힌 곡선
 
* 고리(link)
 
* 고리(link)
−
*  동위(isotopy)<br>
+
*  동위(isotopy)
 
** 3차원 상에서 매듭을 끊지 않는 연속적인 변형
 
** 3차원 상에서 매듭을 끊지 않는 연속적인 변형
 
* 매듭 diagram
 
* 매듭 diagram
15번째 줄: 15번째 줄:
 
* 주어진 두 매듭이 동위관계에 있는지를 판단하는 문제
 
* 주어진 두 매듭이 동위관계에 있는지를 판단하는 문제
 
* 매듭의 분류
 
* 매듭의 분류
−
*  중요 미해결 문제<br>
+
*  중요 미해결 문제
 
** Does there exist a knot in R3, different from the unknot , whose Jones polynomial is equal to 1?”
 
** Does there exist a knot in R3, different from the unknot , whose Jones polynomial is equal to 1?”
  
26번째 줄: 26번째 줄:
 
* 8자매듭(figure eight)
 
* 8자매듭(figure eight)
 
* 세잎매듭(trefoil)
 
* 세잎매듭(trefoil)
−
* [http://www.warwick.ac.uk/%7Emaaac/gordian.html 고르디우스의 매듭(Goardian Knot)]<br>[[파일:5098745-_2010_01_29_10136.jpg]]<br>
+
* [http://www.warwick.ac.uk/%7Emaaac/gordian.html 고르디우스의 매듭(Goardian Knot)][[파일:5098745-_2010_01_29_10136.jpg]]
  
 
   
 
   
34번째 줄: 34번째 줄:
 
==매듭 diagram==
 
==매듭 diagram==
  
−
*  3차원 공간에 놓인 매듭을 2차원 평면에 사영하여 얻어짐<br>
+
*  3차원 공간에 놓인 매듭을 2차원 평면에 사영하여 얻어짐
  
 
   
 
   
42번째 줄: 42번째 줄:
 
==라이데마이스터 변형==
 
==라이데마이스터 변형==
  
−
*  매듭 diagram 에 가하는 변형<br>
+
*  매듭 diagram 에 가하는 변형
−
*  매듭이 3차원 공간에서의 연속적인 변형을 통하여 다른 매듭으로 변하면, 매듭 diagram에 세가지 라이데마이스터 변형을 가하여 같은 결과를 얻을 수 있다<br>
+
*  매듭이 3차원 공간에서의 연속적인 변형을 통하여 다른 매듭으로 변하면, 매듭 diagram에 세가지 라이데마이스터 변형을 가하여 같은 결과를 얻을 수 있다
−
*  매듭으로부터 정의된 양이 불변량임을 증명하는데 흔히 사용<br>
+
*  매듭으로부터 정의된 양이 불변량임을 증명하는데 흔히 사용
−
*  라이데마이스터 변형 1 - disapperanace of a little loop<br>
+
*  라이데마이스터 변형 1 - disapperanace of a little loop
−
*  라이데마이스터 변형 2 - twin crossing 의 제거<br>
+
*  라이데마이스터 변형 2 - twin crossing 의 제거
−
*  라이데마이스터 변형 3 - 크로싱 위로 thread의 이동<br>
+
*  라이데마이스터 변형 3 - 크로싱 위로 thread의 이동
  
 
   
 
   
70번째 줄: 70번째 줄:
 
==불변량==
 
==불변량==
  
−
*  동위관계에 있는 다항식에 대해서는 같은 값을 주는 양<br>
+
*  동위관계에 있는 두 매듭에 같은 값을 주는 양
−
*  동의관계에 있는 매듭에는 같은 다항식이 대응되나, 다항식이 같다고 매듭이 동위관계에 있다고는 말할수 없다<br>
+
*  동의관계에 있는 매듭에는 같은 다항식이 대응되나, 다항식이 같다고 매듭이 동위관계에 있다고는 말할수 없다
 
*  서로 다른 매듭을 구분할 수 있는 더 강력한 불변량을 찾는 것은 매듭이론의 중요한 주제이다
 
*  서로 다른 매듭을 구분할 수 있는 더 강력한 불변량을 찾는 것은 매듭이론의 중요한 주제이다
 
* 예
 
* 예
−
**  알렉산더-콘웨이 다항식<br>
+
**  알렉산더-콘웨이 다항식
−
**  HOMFLY 다항식<br>
+
**  HOMFLY 다항식
−
** 존스 다항식<br>
+
** 존스 다항식
−
**  바실리예프 다항식<br>
+
**  바실리예프 다항식
 
*  실타래 관계를 이용하여 정의되는 경우가 많다
 
*  실타래 관계를 이용하여 정의되는 경우가 많다
  
83번째 줄: 83번째 줄:
 
===실타래 관계 (skein relation)===
 
===실타래 관계 (skein relation)===
  
−
*  나머지 부분이 같고, 한 교차점에서만 다른 매듭의 oriented diagram을 실타래 diagram이라 한다<br>
+
*  나머지 부분이 같고, 한 교차점에서만 다른 매듭의 oriented diagram을 실타래 diagram이라 한다
 
*  유향매듭 L이 있을때, 다음과 같이 <math>L_{+},L_{-},L_{0}</math> 을 정의한다
 
*  유향매듭 L이 있을때, 다음과 같이 <math>L_{+},L_{-},L_{0}</math> 을 정의한다
 
** http://en.wikipedia.org/wiki/File:Skein_%28HOMFLY%29.svg
 
** http://en.wikipedia.org/wiki/File:Skein_%28HOMFLY%29.svg
−
*  다항식으로 정의되는 여러 불변량들은 이 세 실타래들이 만족시키는 관계를 가지며, 이를 실타래 관계라 한다<br>
+
*  다항식으로 정의되는 여러 불변량들은 이 세 실타래들이 만족시키는 관계를 가지며, 이를 실타래 관계라 한다
−
*  불변량을 재귀적으로 정의할 수 있게 된다<br>
+
*  불변량을 재귀적으로 정의할 수 있게 된다
  
  
93번째 줄: 93번째 줄:
 
===알렉산더-콘웨이 다항식===
 
===알렉산더-콘웨이 다항식===
  
−
*  각 매듭에 대해 정의되는 z를 변수로 가지는 정수계수다항식 <math>\nabla(\cdot)</math><br>
+
*  각 매듭에 대해 정의되는 z를 변수로 가지는 정수계수다항식 <math>\nabla(\cdot)</math>
−
*  실타래 관계(skein relation):<math>\nabla(O) = 1</math>:<math>\nabla(L_+) - \nabla(L_-) = z \nabla(L_0)</math><br>
+
*  실타래 관계(skein relation):<math>\nabla(O) = 1</math>:<math>\nabla(L_+) - \nabla(L_-) = z \nabla(L_0)</math>
  
 
   
 
   
102번째 줄: 102번째 줄:
 
===존스 다항식===
 
===존스 다항식===
  
−
*  각 매듭에 대해 정의되는 <math>t^{1/2}</math>를 변수로 가지는 정수계수 로랑다항식 <math>V(\cdot)</math><br>
+
*  각 매듭에 대해 정의되는 <math>t^{1/2}</math>를 변수로 가지는 정수계수 로랑다항식 <math>V(\cdot)</math>
−
*  실타래 관계(skein relation):<math>V(O) = 1</math>:<math>(t^{1/2} - t^{-1/2})V(L_0)  = t^{-1}V(L_{+}) - tV(L_{-})</math><br>
+
*  실타래 관계(skein relation):<math>V(O) = 1</math>:<math>(t^{1/2} - t^{-1/2})V(L_0)  = t^{-1}V(L_{+}) - tV(L_{-})</math>
  
 
   
 
   
  
−
===홈플라이(HOMFLY) 다항식===
+
===홈플리 (HOMFLY) 다항식===
  
−
*  HOMFLY는 사람의 이름이 아니라, 발견자 여러 명의 머리글자이다<br>
+
*  HOMFLY는 사람의 이름이 아니라, 발견자 여러 명의 머리글자이다
−
*  알렉산더-콘웨이 다항식과 존스 다항식의 일반화<br>
+
*  알렉산더-콘웨이 다항식과 존스 다항식의 일반화
−
*  매듭에 정의되는 이변수다항식 <math>P(\cdot)</math><br>
+
*  매듭에 정의되는 이변수다항식 <math>P(\cdot)</math>
−
*  실타래 관계<br> <br>
+
*  실타래 관계   
  
 
   
 
   
129번째 줄: 129번째 줄:
 
* 1988년 위튼이 존스 다항식을 양자장론의 틀로 설명'''[Witten1989]'''
 
* 1988년 위튼이 존스 다항식을 양자장론의 틀로 설명'''[Witten1989]'''
 
* 1990년 존스, 위튼 필즈메달 수상
 
* 1990년 존스, 위튼 필즈메달 수상
−
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=knot+theory
 
 
* [[수학사 연표]]
 
* [[수학사 연표]]
  
158번째 줄: 157번째 줄:
  
 
==수학용어번역==
 
==수학용어번역==
−
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
+
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=isotopy
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=isotopy
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=skein
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=skein
183번째 줄: 182번째 줄:
 
==동영상 강연==
 
==동영상 강연==
  
−
* [http://video.ias.edu/witten-friends Knots and Quantum Theory]<br>
+
* [http://video.ias.edu/witten-friends Knots and Quantum Theory]
 
** Edward Witten, December 15, 2010
 
** Edward Witten, December 15, 2010
 
** 대중강연
 
** 대중강연
193번째 줄: 192번째 줄:
 
==관련논문과 소개글==
 
==관련논문과 소개글==
  
−
* [http://math.berkeley.edu/%7Evfr/jones.pdf The Jones Polynomial]<br>
+
* [http://math.berkeley.edu/%7Evfr/jones.pdf The Jones Polynomial]
 
** V.Jones, 2005-8[http://www.bkfc.net/altendor/KnotTheoryAndStatisticalMechanics.pdf ]
 
** V.Jones, 2005-8[http://www.bkfc.net/altendor/KnotTheoryAndStatisticalMechanics.pdf ]
−
* [http://knot.kaist.ac.kr/intro/what.htm 매듭론]<br>
+
* [http://knot.kaist.ac.kr/intro/what.htm 매듭론]
 
** 고기형, 대한수학회지 2000-11
 
** 고기형, 대한수학회지 2000-11
−
* [http://siba2.unile.it/ese/issues/1/19/Notematv9supplp17.pdf Knots and physics]<br>
+
* [http://siba2.unile.it/ese/issues/1/19/Notematv9supplp17.pdf Knots and physics]
−
**  Kauffman, 1989<br>
+
**  Kauffman, 1989
−
* '''[Witten1989]'''[http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.cmp/1104178138 Quantum field theory and the Jones polynomial]<br>
+
* '''[Witten1989]'''[http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.cmp/1104178138 Quantum field theory and the Jones polynomial]
 
** Edward Witten, Comm. Math. Phys. Volume 121, Number 3 (1989), 351-399
 
** Edward Witten, Comm. Math. Phys. Volume 121, Number 3 (1989), 351-399
  
−
* [http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.pjm/1102650387 On knot invariants related to some statistical mechanical models.]<br>
+
* [http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.pjm/1102650387 On knot invariants related to some statistical mechanical models.]
 
** V. F. R. Jones, 1989
 
** V. F. R. Jones, 1989
−
* [http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183552338 A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras]<br>
+
* [http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183552338 A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras]
 
** Vaughan F. R. Jones, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 12, Number 1 (1985), 103-111.
 
** Vaughan F. R. Jones, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 12, Number 1 (1985), 103-111.
  
212번째 줄: 211번째 줄:
 
==관련도서==
 
==관련도서==
  
−
* [http://books.google.com/books?id=BewrZeACVKcC Knots: mathematics with a twist]<br>
+
* [http://books.google.com/books?id=BewrZeACVKcC Knots: mathematics with a twist]
 
** A. B. Sossinsky
 
** A. B. Sossinsky
−
*  The Geometry and Physics of Knots<br>
+
*  The Geometry and Physics of Knots
 
** Atiyah, Michael
 
** Atiyah, Michael
  
231번째 줄: 230번째 줄:
 
==관련기사==
 
==관련기사==
  
−
* [http://www.sciencenews.org/view/generic/id/38237/title/Math_Trek__Unknotting_knot_theory Unknotting knot theory]<br>
+
* [http://www.sciencenews.org/view/generic/id/38237/title/Math_Trek__Unknotting_knot_theory Unknotting knot theory]
−
**  Julie Rehmeyer, ScienceNews, October 31st, 2008<br>
+
**  Julie Rehmeyer, ScienceNews, October 31st, 2008
−
* [http://gjdream.com/v2/news/view.html?news_type=207&code_M=2&mode=view&uid=398663 마음을 엮는 매듭]<br>
+
* [http://gjdream.com/v2/news/view.html?news_type=207&code_M=2&mode=view&uid=398663 마음을 엮는 매듭]
 
** 이광재, 광주드림, 2009-3-4
 
** 이광재, 광주드림, 2009-3-4
−
* [http://www.nytimes.com/1989/02/21/science/mathematicians-link-knot-theory-to-physics.html Mathematicians Link Knot Theory to Physics]<br>
+
* [http://www.nytimes.com/1989/02/21/science/mathematicians-link-knot-theory-to-physics.html Mathematicians Link Knot Theory to Physics]
 
** GINA KOLATA, NYT, February 21, 1989
 
** GINA KOLATA, NYT, February 21, 1989
−
*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
 
−
** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=%EB%A7%A4%EB%93%AD%EC%9D%B4%EB%A1%A0 http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=매듭이론]
 
−
** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=%EB%A7%A4%EB%93%AD%EB%A1%A0 http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=매듭론]
 
−
 
  
 
   
 
   
246번째 줄: 241번째 줄:
 
==블로그==
 
==블로그==
  
−
* [http://tangledw3b.wordpress.com/2009/08/06/jones-polynomial/ Jones’ Polynomial]<br>
+
* [http://tangledw3b.wordpress.com/2009/08/06/jones-polynomial/ Jones’ Polynomial]
 
** Tangled web, 2009-08-06
 
** Tangled web, 2009-08-06

2013년 4월 22일 (월) 06:11 판

개요

  • 매듭(knot)
    • 3차원 상에 놓인 원과 위상동형인 곡선, 또는 3차원 상에 놓인 자기자신과 만나지 않는 닫힌 곡선
  • 고리(link)
  • 동위(isotopy)
    • 3차원 상에서 매듭을 끊지 않는 연속적인 변형
  • 매듭 diagram
  • 라이데마이스터 변형
  • 20세기말에 통계역학, 양자군, 양자장론과의 관계가 발견되어 큰 발전


중요한 문제

  • 주어진 두 매듭이 동위관계에 있는지를 판단하는 문제
  • 매듭의 분류
  • 중요 미해결 문제
    • Does there exist a knot in R3, different from the unknot , whose Jones polynomial is equal to 1?”


매듭과 고리의 예



매듭 diagram

  • 3차원 공간에 놓인 매듭을 2차원 평면에 사영하여 얻어짐



라이데마이스터 변형

  • 매듭 diagram 에 가하는 변형
  • 매듭이 3차원 공간에서의 연속적인 변형을 통하여 다른 매듭으로 변하면, 매듭 diagram에 세가지 라이데마이스터 변형을 가하여 같은 결과를 얻을 수 있다
  • 매듭으로부터 정의된 양이 불변량임을 증명하는데 흔히 사용
  • 라이데마이스터 변형 1 - disapperanace of a little loop
  • 라이데마이스터 변형 2 - twin crossing 의 제거
  • 라이데마이스터 변형 3 - 크로싱 위로 thread의 이동


라이데마이스터 변형 I 라이데마이스터 변형 II 라이데마이스터 변형 III




불변량

  • 동위관계에 있는 두 매듭에 같은 값을 주는 양
  • 동의관계에 있는 매듭에는 같은 다항식이 대응되나, 다항식이 같다고 매듭이 동위관계에 있다고는 말할수 없다
  • 서로 다른 매듭을 구분할 수 있는 더 강력한 불변량을 찾는 것은 매듭이론의 중요한 주제이다
  • 예
    • 알렉산더-콘웨이 다항식
    • HOMFLY 다항식
    • 존스 다항식
    • 바실리예프 다항식
  • 실타래 관계를 이용하여 정의되는 경우가 많다


실타래 관계 (skein relation)

  • 나머지 부분이 같고, 한 교차점에서만 다른 매듭의 oriented diagram을 실타래 diagram이라 한다
  • 유향매듭 L이 있을때, 다음과 같이 \(L_{+},L_{-},L_{0}\) 을 정의한다
  • 다항식으로 정의되는 여러 불변량들은 이 세 실타래들이 만족시키는 관계를 가지며, 이를 실타래 관계라 한다
  • 불변량을 재귀적으로 정의할 수 있게 된다


다항식 불변량의 예

알렉산더-콘웨이 다항식

  • 각 매듭에 대해 정의되는 z를 변수로 가지는 정수계수다항식 \(\nabla(\cdot)\)
  • 실타래 관계(skein relation)\[\nabla(O) = 1\]\[\nabla(L_+) - \nabla(L_-) = z \nabla(L_0)\]



존스 다항식

  • 각 매듭에 대해 정의되는 \(t^{1/2}\)를 변수로 가지는 정수계수 로랑다항식 \(V(\cdot)\)
  • 실타래 관계(skein relation)\[V(O) = 1\]\[(t^{1/2} - t^{-1/2})V(L_0) = t^{-1}V(L_{+}) - tV(L_{-})\]


홈플리 (HOMFLY) 다항식

  • HOMFLY는 사람의 이름이 아니라, 발견자 여러 명의 머리글자이다
  • 알렉산더-콘웨이 다항식과 존스 다항식의 일반화
  • 매듭에 정의되는 이변수다항식 \(P(\cdot)\)
  • 실타래 관계






역사

  • 1984년 존스 다항식
  • 1988년 위튼이 존스 다항식을 양자장론의 틀로 설명[Witten1989]
  • 1990년 존스, 위튼 필즈메달 수상
  • 수학사 연표



메모


관련된 항목들

  • 양자군 (quantum group)


계산 리소스


수학용어번역



사전 형태의 자료


동영상 강연



관련논문과 소개글



관련도서



관련링크와 웹페이지



관련기사


블로그

원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=매듭이론_(knot_theory)&oldid=27651"